Случайные величины и законы распределения

Переменная величина называется случайной , если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение х i или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина  имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

Случайная величина Х называется дискретной , если существует такая неотрицательная функция

(1)

которая ставит в соответствие значению х i переменной Х вероятность р i , с которой она принимает это значение.

Случайная величина Х называется непрерывной , если для любых a < b существует такая неотрицательная функция f ( x ), что

(2)

Функция f ( x ) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина Х (дискретная или непрерывная) принимает значение, меньшее х , называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F ( x ) :

(3)

Функция распределения является универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины.

Общие свойства функции распределения:

(4)

Кроме этого универсального, существуют также частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) и плотность распределения (только для непрерывных случайных величин).

Основные свойства плотности распределения:

(5)

Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний. Повторяя испытания, будем каждый раз регистрировать, произошло ли интересующее нас случайное событие А , или нет. Относительной частотой (или просто частотой ) случайного события А называется отношение числа n A появлений этого события к общему числу n проведенных испытаний. При этом мы принимаем, что относительные частоты случайных событий близки к их вероятностям. Это тем более верно, чем больше число проведенных опытов. При этом частоты, как и вероятности, следует относить не к отдельным значениям случайной величины, а к интервалам. Это значит, что весь диапазон возможных значений случайной величины Х надо разбить на интервалы. Проводя серии испытаний, дающих эмпирические значения величины Х , надо фиксировать числа n x попаданий результатов в каждый интервал. При большом числе испытаний n отношение n x / n (частоты попадания в интервалы) должны быть близки к вероятностям попадания в эти интервалы. Зависимость частот n x / n от интервалов определяет эмпирическое распределение вероятностей случайной величины Х , графическое представление которой называется гистограммой (рис. 1).

Рис. 1. Гистограмма и выравнивающая плотность распределения

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают интервалы равной длины, на которые разбивается весь диапазон возможных значений случайной величины Х , а по оси ординат откладывают частоты n x / n . Тогда высота каждого столбика гистограммы равна соответствующей частоте. Таким образом, получается приближенное представление закона распределения вероятностей для случайной величины Х в виде ступенчатой функции, аппроксимация (выравнивание) которой некоторой кривой f ( x ) даст плотность распределения.

Однако, часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные свойства распределения. Эти числа называются числовыми характеристиками случайной величины.