Системы случайных величин

Существенный интерес в математической статистике представляет рассмотрение системы двух и более случайных величин и их статистическая взаимосвязь друг с другом.

По аналогии с рядом распределения одной дискретной величины Х для двух дискретных случайных величин X и Y строится матрица распределения – прямоугольная таблица, в которой записаны все вероятности p i j = P { X = x i , Y = y j } , i = 1, … , n ; j = 1,…, m .

События (или опыты) называются независимыми , если вероятность появления (исхода) каждого из них не зависит от того, какие события (исходы) имели место в других случаях (опытах).

Две случайные величины X и Y называются независимыми , если независимы все связанные с ними события: например, { X < а } и { Y < b } или { X = x i } и { Y = y i } и т.д.

В терминах законов распределения справедливо также следующее определение: две случайные величины X и Y называются независимыми , если закон распределения каждой из них не зависит от принятого значения другой.

Совместной функцией распределения системы двух случайных величин ( X , Y ) называется вероятность совместного выполнения неравенств X < х и Y < у :

(34)

Событие означает произведение (совместное выполнение) событий { X < х } и { Y < у }.
Геометрической интерпретацией совместной функции распределения F ( x , y ) является вероятность попадания случайной точки ( X , Y ) на плоскости внутрь бесконечного квадранта с вершиной в точке ( x , y ) (заштрихованная область на рис. 8).

Рис. 8. Геометрическая интерпретация совместной функции распределения F ( x , y )

Основные свойства совместной функции распределения:

(35)

Здесь

Система двух случайных величин ( X , Y ) называется непрерывной , если ее совместная функция распределения F ( x , y ) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому аргументу, у которой существует вторая смешанная частная производная . Обе случайные величины X и Y – непрерывны. Тогда функция

(36)

называется совместной плотностью распределения системы двух случайных величин ( X , Y ).

Основные свойства совместной плотности распределения:

(37)

В качестве числовых характеристик системы двух случайных величин X и Y обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков. Порядком момента называется сумма его индексов k + s .

Начальным моментом порядка k + s системы двух случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения X k на Y s :

(38)

Центральным моментом порядка k + s системы двух случайных величин ( X , Y ) называется  математическое ожидание произведения ( X – m x ) k на  ( Y – m y ) s :

(39)

где m x = М ( Х ), m y = М ( Y ).

Для системы дискретных случайных величин X и Y :

(40)

(41)

где р i j = Р { Х = x i , Y = y j }.

Для системы непрерывных случайных величин X и Y :

(42)

(43)

где f ( x , y ) – совместная плотность распределения случайных величин X и Y .

В инженерных приложениях математической статистики чаще всего используются моменты первого и второго порядков.

Начальные моменты первого порядка

(44)

являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y .

Центральные моменты первого порядка всегда равны нулю:

(45)

Начальные моменты второго порядка:

(46)

Центральные моменты второго порядка:

(47)

Здесь D x , D y – дисперсии случайных величин X и Y .

Центральный момент второго порядка называется ковариацией случайных величин X и Y . Обозначим его :

.            (48)

Из определения ковариации (48) следует:

(49)

Дисперсия случайной величины является по существу частным случаем ковариации:

(50)

По определению ковариации (48) получим:

(51)

Ковариация двух случайных величин X и Y характеризует степень их зависимости и меру рассеивания вокруг точки . Часто бывает удобно выразить ковариацию в виде:

(52)

Выражение (52) вытекает из определения ковариации (48).

Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин X и Y .

Безразмерная величина, характеризующая только зависимость случайных величин X и Y , а не разброс:

(53)

называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y . Этот параметр характеризует степень линейной зависимости случайных

величин X и Y . Для любых двух случайных величин X и Y коэффициент корреляции . Если , то линейная зависимость между X и Y возрастающая, если , то линейная зависимость между X и Y убывающая, при линейной зависимости между X и Y нет. При случайные величины X и Y называются коррелированными, при – некоррелированными. Отсутствие линейной корреляции не означает отсутствие любой другой зависимости между X и Y . Если имеет место жесткая линейная зависимость Y = aX + b , то при а > 0 и при а < 0.