Критерии согласия

Для проверки соответствия эмпирического распределения теоретическому (гипотезы) можно наложить на гистограмму теоретическую кривую (рис. 6).

Рис. 6. Гистограмма и теоретическая плотность распределения

При этом неизбежно обнаружатся расхождения, либо случайные, связанные с ограниченным объемом наблюдений, либо свидетельствующие о неправильном подборе выравнивающей функции (гипотезы). Для ответа на этот вопрос используют так называемые « критерии согласия ». Для этого вводится случайная величина U , характеризующая расхождение эмпирического и теоретического распределений в предположении истинности теоретического распределения. Мера расхождения U выбирается таким образом, чтобы функция ее распределения не зависела от вида выравниваемого (эмпирического) распределения и достаточно быстро сходилась по числу наблюдений n к предельной функции . Затем определяется фактическая степень расхождения u и оценивается вероятность Малая величина говорит о том, что полученное расхождение u в силу чисто случайных причин маловероятно, и теоретическое распределение плохо согласуется с эмпирическим. Однако, большие вероятности не могут считаться исчерпывающим доказательством истинности теоретического закона распределения и свидетельствуют лишь об отсутствии оснований его отвергнуть.

Иногда поступают иначе: заранее рассчитывают меру расхождения , которая может быть превышена с указанной малой вероятностью, и при рассматриваемое теоретическое распределение отвергают.

Существует множество критериев согласия, среди которых наиболее употребительными являются критерий Пирсона и критерий Колмогорова-Смирнова .

В критерии согласия Пирсона мерой расхождения теоретического и эмпирического распределений является взвешенная сумма квадратов отклонений

(27)

где k – число интервалов разбиения значений случайной величины, – количество наблюдений, попавшее в i -й  интервал, – теоретическая вероятность появления значения из i -го интервала, n – общее число наблюдений.

В практических задачах рекомендуется иметь в каждом интервале разбиения не менее 5-10 наблюдений [3].

Обозначим через t число независимых связей, наложенных на вероятности . Их общее число равно количеству характеристик теоретического распределения, подбираемых по опытным данным, плюс единица (условие нормировки ). Таким образом, схема применения критерия к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему:

1) Определяется мера расхождения по формуле (27).
2) Определяется число степеней свободы r = k – t .
3) По r и с помощью специальной таблицы [3] определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение с r степенями свободы, превзойдет данное значение . Если эта вероятность весьма мала, гипотеза (теоретическая кривая) отбрасывается как неправдоподобная. Если же эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным.

Насколько мала должна быть вероятность р для того, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу, не решается на основе математических соображений и выкладок. На практике, если оказывается, что р < 0.1, рекомендуется проверить или повторить эксперимент. Если заметные расхождения появятся снова, следует искать другой, более подходящий для описания опытных данных закон распределения. Если же вероятность p > 0.1 (относительно велика), то это еще не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а говорит лишь о том, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

В критерии Колмогорова-Смирнова мерой расхождения теоретического F ( x ) и эмпирического распределений является максимальный модуль разности

(28)

А.Н.Колмогоров доказал, что при независимо от вида F ( x ) вероятность неравенства

(29)

стремится к пределу

(30)

Для проверки гипотезы по критерию согласия Колмогорова-Смирнова необходимо построить функции распределения F ( x ) для теоретического и для эмпирического распределений, определить максимум d модуля разности между ними и найти . После этого следует найти по специальной таблице [2] вероятность :

0.0	1.000	0.7	0.711	1.4	0.040
0.1	1.000	0.8	0.544	1.5	0.022
0.2	1.000	0.9	0.393	1.6	0.012
0.3	1.000	1.0	0.270	1.7	0.006
0.4	0.997	1.1	0.178	1.8	0.003
0.5	0.964	1.2	0.112	1.9	0.002
0.6	0.864	1.3	0.068	2.0	0.001