Содержание >> Прикладная математика >> Численные методы >> Уравнения математической физики >> Пример: решение эллиптического уравнения

Уравнения математической физики - Пример: динамика блока цилиндров аксиально-поршневого насоса

Пример: решение эллиптического уравнения

Динамика блока цилиндров аксиально-поршневого насоса

Рассмотрим задачу динамики центрированного блока цилиндров аксиально-поршневого насоса [1]. Расчетная схема представлена на рис.2. Блок цилиндров массой m вращается с угловой скоростью ω относительно неподвижной поверхности распределителя. Между блоком цилиндров и поверхностью распределителя находится слой масляной пленки толщиной h . Со стороны цилиндров на блок действует сила прижима R , а со стороны масляной пленки – сила отжима W . Под действием этих сил блок цилиндров совершает колебания с размахом и скоростью относительно среднего зазора h _ср . От величины размаха колебаний зависят предельные значения основных параметров насоса: максимального давления и скорости вращения вала. Чтобы определить зависимость силы отжима W и размах колебаний блока необходимо сначала решать задачу о распределении давлений в масляной пленке между поверхностями блока и распределителя, решение которой в свое время предложил Р.М.Пасынков [2]. По существу это одна из многих задач динамики гидростатических подпятников и подшипников скольжения [3].

Рис. 2. Расчетная схема динамики блока цилиндров

Уравнение движения блока вдоль оси его вращения:

(3)

где – давление в напорных цилиндрах насоса, – коэффициент динамической вязкости жидкости, – сила поджима блока пружиной.

Зависимость силы прижима , действующей на блок со стороны поршневых отверстий напорных цилиндров, можно записать в виде периодической кусочно-постоянной функции:

, (4)

где – среднее значение и амплитуда колебаний силы прижима, D – диаметр цилиндра, n – число цилиндров блока.

Определение силы отжима (несущей способности масляной пленки) W основано на расчете поля давлений в масляной пленке, которое в произвольный момент времени может быть описано уравнением Рейнольдса [3]:

(5)

Здесь U, V, T – составляющие скорости блока относительно распределителя.

Кроме известных допущений, при которых справедливо уравнение (5), введем ряд дополнительных ограничений, правомерных при данной постановке задачи: плотность и вязкость жидкости в пленке постоянны во времени по всей поверхности трения; сопряженные поверхности блока и распределителя в любой момент времени эквидистантны: ; значение телесного угла сферы распределителя не более 45°, что позволяет при расчете поля давлений принимать поверхность распределителя плоской. Легко показать, что для случая вращательного движения относительно оси, перпендикулярной плоскости ху , имеет место равенство Поэтому с учетом принятых допущений последние три слагаемых в правой части уравнения (5) обращаются в нуль. Тогда, учитывая, что , уравнение (5) в полярных координатах принимает вид:

(6)

Это уравнение описывает поле давлений в масляной пленке между распределителем и блоком, который совершает колебания вдоль оси вращения. При сближении поверхностей скольжения блока цилиндров и распределителя насоса происходит выдавливание масляной пленки и возникает дополнительная переменная составляющая силы отжима, что отражается наличием правой части в уравнении (6). Численное решение уравнения (6) дает возможность определить в фиксированный момент времени поле давлений в масляной пленке и величину несущей способности W с учетом динамики блока цилиндров. Для любого фиксированного момента времени правая часть уравнения (6) принимает определенное значение, а само уравнение становится уравнением Пуассона. В частном случае при оно превращается в уравнение Лапласа в полярных координатах:

(7)

Численное решение эллиптических уравнений Пуассона (6) и Лапласа (7) при определенных граничных условиях можно осуществить методом конечных разностей (методом сеток) .

Решение уравнения (6) в силу его линейности может быть представлено как суперпозиция решения уравнения (7), которое в приложении к этой задаче известно из [2], и частного решения уравнения (6).

Сила отжима может быть представлена в виде:

(8)

где

– составляющая силы отжима при постоянном зазоре;

– динамическая составляющая силы отжима при переменном зазоре.

Решение уравнения (6) было получено методом конечных разностей (методом сеток). Расчеты

для различных углов поворота блока относительно распределителя показали, что эта величина может быть представлена в виде кусочно-постоянной функции угла поворота блока. Участки постоянства соответствуют двум основным положениям блока: либо с напорной полостью соединены ( n – 1) / 2 цилиндров блока, либо ( n + 1) / 2. При повороте блока на угол, в пределах которого количество цилиндров, соединенных с напорной полостью, не меняется, величина

, как показали расчеты для пяти положений блока, может считаться постоянной. Кроме того, можно считать, что фазы

совпадают, поскольку скорость распространения давлений в жидкостной пленке (~1200 м/с) несоизмеримо больше скорости блока. Поэтому принимается, что изменение поля давлений и несущей способности пленки при смене количества напорных цилиндров происходит мгновенно. Следовательно,

где

– среднее значение и амплитуда составляющей силы отжима

.
Для получения функциональной зависимости составляющей силы отжима были проведены расчеты полей давлений и несущей способности при различных значениях правой части уравнения (6), то есть при переменных величинах

. С изменением

меняется и величина

. Поскольку зависимость

, а следовательно и

, является искомой, достаточно задать ориентировочные значения правой части уравнения (6). Задавая последовательно ряд значений правой части уравнения (6), получим соответствующие значения несущей способности пленки

. Положив

, при неподвижном блоке, получим величину статической составляющей

, поскольку в этом случае

= 0. Из уравнения (8) следует, что величина

определяется как разность между

. Проведенные численные рачеты показали, что

пропорциональна правой части уравнения (6) с некоторым коэффициентом

(9)

Величина коэффициента пропорциональности

зависит от типоразмера гидроагрегата и геометрии распределителя. Минус в правой части формулы (9) является следствием того, что сближению блока и распределителя, при котором

, соответствует

.
Таким образом, получены все составляющие в уравнении (3), которое с учетом (4) и (9) примет вид:

(10)

Уравнение (10) справедливо при следующих двух условиях:

1) индикаторная диаграмма аксиально-поршневого насоса такова, что забросов давления

в защемленном объёме в момент прохождения перемычки между напорным и сливным окнами распределителя практически нет;

2) трение в паре поршень – цилиндр пренебрежимо мало по сравнению с остальными усилиями, действующими на блок.

Рассмотрим предварительно соотношения

. Возможны три основных случая, вытекающие из условия гидростатического уравновешивания блока.

а) Соотношение

недопустимо, так как при этом произойдет выдавливание пленки из зазора между блоком и распределителем, ухудшатся условия теплоотдачи, появится опасность износа поверхностей скольжения вследствие нарушения

сплошности пленки; возможен контакт поверхностей скольжения блока и распределителя.

б) В случае

блок отжимается от распределителя, зазор увеличивается, что приводит к возрастанию утечек и недопустимому снижению объёмного КПД. Конструкция распределителя, как и в первом случае, неработоспособна.

в) Случай

соответствует устойчивой работе насоса и динамической уравновешенности блока. При этом уравнение (10) принимает вид:

(11)

где

Уравнение (11) в силу существенной нелинейности решить в квадратурах не представляется возможным, однако можно понизить его порядок однократным интегрированием:

(12)

где А' = А/(nω) ,

- функция, представленная на рис.3 a .

Найти общее решение уравнения (12) невозможно, для получения частных решений воспользуемся численным методом. Заметим, что значения коэффициентов a и A' отличаются более чем на три порядка, поэтому следует привести уравнение (12) к безразмерному виду:

(13)

где

Уравнение (13) было решено численно для ряда значений C . Полученное решение

при C = 4 β (рис.3 б ) имеет точки излома 1 и 2 (скачок производной) при

, то есть там, где sign (sin τ) меняет знак. Если в уравнении (13) пренебречь

, то полученное алгебраическое уравнение

имеет решения

, аналогичные по характеру зависимости, представленной на рис.3 б , с погрешностью, не превышающей 6%. Это позволяет упростить уравнение динамики блока:

Найдем периодическое решение этого уравнения методом припасовывания :

(14)

где ε – произвольная постоянная ( ε > 0); k = 0, 1, 2, … . Отсюда находим максимальное и минимальное значения толщины пленки:

(15)

Из соотношений (15) с учетом обозначений (11) получим:

(16)

где

Очевидно, что область возможных изменений относительного размаха колебаний

, поэтому полином

– монотонно убывающая функция, отсюда следует, что

является взаимно-однозначной функцией (рис.3 в ). Таким образом, для определения

по уравнению (16) предлагается графоаналитическое решение.
Величина

, входящая в уравнение (16), зависит от ω, р _o , а также от типоразмера гидроагрегата. На основании расчетов несущей способности для экспериментального насос-гидромотора ММ-1 ВНИИстройдормаша (рабочий объём около 500 см ³ /об, диаметр поршня D = 40 мм) были получены следующие значения параметров, входящих в

Остальные исходные данные:

. При работе в номинальном режиме ω = 105 рад/с (1000 об/мин), р _o = 16 Мпа. Находим γ = 69.8. Тогда из уравнения (16) и рис.3 в имеем

, откуда величина размаха колебаний блока цилиндров составит:

. Эксперименты, проведенные на насос-гидромоторе ММ-1, позволили получить следующую эмпирическую зависимость среднего зазора

от ω и р _o :

(17)

Здесь были получены следующие значения коэффициентов уравнения (17): a ₁ = 36.7, a ₂ = 0.075, a ₃ = 11.8.
В результате на основании зависимости (17) и уравнения (16) были определены зоны колебаний блока при различных режимах работы гидроагрегата.

Результаты, полученные на стадии разработки новой конструкции, позволили установить пределы возможного форсирования гидроагрегата, уточнить его характеристики и требования к фильтрации рабочей жидкости.

< Предыдущая

Содержание

Следующая >