Библиотека математических моделей типовых линейных динамических звеньев

В системах управления используются разнообразные физические устройства: гидравлические, электромагнитные, электрогидравлические и др. Поэтому при решении задач динамики систем приходится моделировать различные по своей природе системы управления и регулирования. Большинство из них хорошо описывается с помощью типовых линейных динамических звеньев автоматического регулирования [1], к которым относятся:

1)  идеальное усилительное (безынерционное) звено – сумматор;

2)  апериодическое звено 1-го порядка (инерционное);

3)  апериодическое звено 2-го порядка;

4)  колебательное звено;

4 a ) консервативное звено (частный случай колебательного звена);

5)  идеальное интегрирующее звено;

6)  инерциальное интегрирующее звено;

7)  идеальное дифференцирующее звено;

8)  идеальное звено с введением производной;

9)  инерционное дифференцирующее звено;

10)  динамическое звено 2-го порядка (общий случай).

Математические модели перечисленных линейных динамических звеньев записаны далее в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, а не в операторной форме (в виде передаточных функций), поскольку нас интересуют переходные процессы во временно’й, а не в частотной области.

В общем случае линейное динамическое звено 2-го порядка описывается уравнением:

(2)

где сигналы на входе звена; их производные по времени; х – сигнал на выходе звена; коэффициенты уравнения.

Для всех остальных типов динамических звеньев их уравнения получены как частные случаи (2):

идеальное усилительное (безынерционное) звено – сумматор:

(2.1)

апериодическое звено 1-го порядка (инерционное):

(2.2)

апериодическое звено 2-го порядка и колебательное звено:

(2.3)

консервативное звено:

(2.4)

идеальное интегрирующее звено:

(2.5)

инерциальное интегрирующее звено:

(2.6)

идеальное дифференцирующее звено:

(2.7)

идеальное звено с введением производной:

(2.8)

инерционное дифференцирующее звено:

(2.9)

Таким образом, все типовые линейные звенья могут быть объединены в один обобщенный элемент ЗВЕНО (идентификатор этого элемента в библиотеке базовых элементов) с узлами i (вход), j (выход), k (дополнительный вход для звена – сумматора).

Условия, ограничения, комментарии. Приведенные уравнения линейных динамических звеньев следует дополнить рядом ограничений, отражающих физические свойства переменных, а также некоторые конструктивные особенности устройств (например, упоры подвижных частей).

В ряде реальных элементов перемещение z подвижных частей ограничено упорами. Такого рода нелинейности могут быть заданы в виде неравенств:

(3)

(4)

(5)

где L – максимальное значение перемещения z ; А – правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно ; В – правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно .