Содержание >> Инженерная математика >> Системы управления >> Динамический синтез системы управления объемным гидроприводом >> Синтез управления силовым гидроприводом объемного регулирования >> Метод кратных периодов собственных колебаний >> Алгоритм

Системы управления - Динамический синтез - Метод кратных периодов собственных колебаний - Алгоритм

Алгоритм

Рассмотрим упрощенную расчетную схему гидропривода поступательного движения с замкнутой циркуляцией потока (рис. 3).

Рис. 3.

Запишем систему дифференциальных уравнений динамики рассматриваемой гидросхемы с учетом упругости рабочей жидкости, приняв следующие допущения:
1) утечки рабочей жидкости в гидросистеме отсутствуют, поэтому работа системы подпитки не рассматривается;
2) потери давления по длине трубопроводов и в местных сопротивлениях пренебрежимо малы;
3) приведенные масса и нагрузка на штоке гидроцилиндра, а также частота вращения вала насоса постоянны;
4) параметры рабочей жидкости (плотность, вязкость, модуль объемной упругости) постоянны;
5) динамика механизма управления подачей насоса на данном этапе решения не рассматривается.
Учет динамики механизма управления подачей насоса не представляет принципиальных трудностей, так как эта задача может быть решена и после (параллельно) рассматриваемой, когда искомая зависимость рабочего объема насоса q ( t ) (или хотя бы его текущее численное значение) уже известна. Для этого следует записать математическую модель механизма управления, выходом которой является q ( t ).
Математическая модель рассматриваемой гидросистемы с учетом принятых допущений имеет вид:

где m – приведенная к штоку масса подвижных частей исполнительного механизма; р 1 , р 2 – давления в напорной и сливной полостях гидросистемы; x , v – перемещение и скорость поршня гидроцилиндра; R 0 тр – постоянная сила сухого трения в уплотнениях гидроцилиндра при отсутствии давлений в полостях; k 1 , k 2 – коэффициенты пропорциональности в переменных составляющих силы трения, зависящих от давления; R – постоянная нагрузка на штоке гидроцилиндра; ω н – угловая скорость вала насоса; F – рабочая площадь поршня гидроцилиндра; q ( t ) – рабочий объем насоса в функции времени (собственно сигнал управления); k упр 1 , k упр 2 – коэффициенты упругости полостей гидросистемы, равные:

где L – максимальный ход поршня гидроцилиндра; d тр i , l тр i – диаметр и длина i -го трубопровода; Δ V –«мертвый» объем полости гидроцилиндра; Е пр i – приведенный модуль объемной упругости i -го трубопровода с рабочей жидкостью:

где Е ж – модуль объемной упругости рабочей жидкости; δ тр i – толщина стенки i -го трубопровода; Е ст – модуль упругости материала стенки трубопровода; Е пр – приведенный модуль упругости полости гидроцилиндра, определяемый аналогичным (7) образом.
Положим для простоты v > 0, то есть sign v = 1.
Дифференцируя по времени первое из уравнений системы (5), с учетом принятых допущений получим:

Подставляя в (8) из последних двух уравнений системы (5), получим:

или

Несмотря на зависимость (6) коэффициентов упругости k упр 1 и k упр 2 от х , в рамках принятых допущений и для реальных значений F , k 1 , k 2 и других параметров, нетрудно показать (см. Приложение ), что выражение, стоящее в уравнении (9) в качестве множителя перед v , меняется незначительно (~13%), поэтому в первом приближении можно считать уравнение (9) линейным:

Задав начальные условия:

получим решение уравнения (10), которое с учетом начальных условий (11) имеет вид [9]:

Исходя из условий точности позиционирования, необходимо выбрать управление φ ( t ) таким образом, чтобы к моменту окончания регулирования погасить собственные колебания.
Рассмотрим класс линейных управлений φ ( t ) (в общем случае – кусочно-линейных, если учесть, что для каждого этапа движения временной интервал (0, t ) является «скользящим», то есть его левая граница соответствует t = 0; иными словами, начальные условия (11) для 2-го и 3-го этапа движения заменяются значениями фазовых переменных в конце предыдущего этапа).
Итак, пусть q ( t ) = α t + β , тогда

Подставляя (13) в (12), получим:

откуда

или окончательно:

Подставляя (17) в уравнение (5) для р 1 и интегрируя по t , получим:

где р 10 = р 1 (0).

Рассмотрим отдельно основные фазы движения и управления.

Разгон

Начальные условия при разгоне:

В этом случае имеем:

Введем ограничения:

Первое из ограничений (21) вводится, исходя из требований эксплуатации гидросистемы, а именно: давление не должно быть ниже некоторого минимального уровня, определяемого условиями всасывания рабочей жидкости на входе основного насоса и не должно достигать давления срабатывания предохранительного клапана, так как в противном случае будет искажен желаемый процесс управления гидроприводом. Ограничения (22) отражают чисто геометрические возможности регулируемого насоса.
Пусть T I – время управления при разгоне, тогда T I = q н / α . При t = T I получим:

Потребуем, чтобы тогда:

откуда

и

Если принять (для того, чтобы в конце разгона ), то

Тогда при t = T I имеем:

Найдем max p 1 ( t ) при (27) на временнóм промежутке 0 ≤ t ≤ T I :

а так как – период функции p 1 ( t ), то ее максимум на [0, T I ] равен:

Из условия (21) получим:

откуда следует:

С другой стороны, при отсутствии системы подпитки давление р 2 в сливной магистрали меняется аналогично (18):

где р 20 = р 2 (0). При разгоне, с учетом начальных условий (19), получим:

откуда исходя из ограничения (21) с учетом (27), получим:

следовательно,

Таким образом, из (32) и (36) следует, что при разгоне:

Еще раз подчеркнем, что справедливость формул (34) – (37) имеет место только при отсутствии системы подпитки. При наличии последней необходимость в этих условиях отпадает.

Установившееся движение

Для этого этапа движения задаются новые начальные условия:

где – значения соответствующих фазовых координат в конце предыдущего этапа движения (разгона). Подставляя (38) в уравнения (16), (17) и (18), соответственно получим:

откуда очевидно, что на временнóм промежутке имеет место равномерное движение гидропривода. Величина T II (длительность установившегося движения) будет определена позже.

Торможение

Начальные условия на этапе торможения:

Если принять аналогично (27) при разгоне, что при торможении

то подставляя (42) в уравнения (16), (17) и (18), получим из условия (21) аналогично предыдущему:

и

Если принять в качестве n и k их общие значения для всех режимов, то тогда

Длительность торможения в этом случае составит:

тогда перемещения поршня при разгоне Δ х 1 и торможении Δ х 3 соответственно равны:

Тогда, если х Т * – заданное конечное положение поршня, то

откуда с учетом (48) получим:

следовательно,

Если обозначить правую часть неравенства (46) через , то с учетом (50) должно иметь место неравенство:

из которого следует, что если оно не выполняется (например, при малых перемещениях ), то надо вводить κq н вместо q н ,  где 0 ≤ κ ≤ 1, то есть уменьшать q н до тех пор, пока не будет выполняться неравенство (51).
Общее время движения Т равно:

а момент начала торможения: При t ≥ T III получим: α = 0, β = 0, v 0 = 0, w 0 = 0, то есть система «стоит».
Отметим, что из множества всех допустимых, то есть удовлетворяющих условию (46), значений n следует выбрать наименьшее. Это позволит при прочих равных условиях минимизировать время регулирования Т , а также даст возможность обеспечить выполнение неравенства (51).
На этом этап «грубого» управления окончен.
Описанный алгоритм управления иллюстрируется на рис. 4, где v ( t ) и x ( t ) – идеализированные циклограммы скорости и перемещения поршня исполнительного гидроцилиндра.

Рис. 4.


< Предыдущая Содержание Следующая >