Общая схема решения

Приведенные выше уравнения статики отдельных гидроэлементов содержат ряд существенных нелинейностей, из-за которых решение соответствующей системы уравнений в замкнутой форме (аналитически) невозможно. Поэтому для статического расчета использована итерационная схема решения, в основе которой лежит метод Ньютона-Рафсона . Для применения этого метода необходимы:

- линеаризация уравнений гидроэлементов;

- структурный анализ схемы и минимизация числа неизвестных;

- задание нулевого приближения;

- формирование матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений с переменными (вследствие линеаризации в окрестности нулевого приближения) коэффициентами;

- решение на каждой итерации системы линеаризованных уравнений с переменными коэффициентами.

Линеаризация уравнений гидроэлементов проведена на стадии построения алгоритма статического расчета. Нулевое приближение задается при подготовке задачи к решению вместе с исходными данными. Остальные пункты общей схемы решения реализуются программой.

Линеаризация уравнений. Пусть задана система нелинейных уравнений вида:

(21)

где – неизвестные, входящие в уравнения, – нелинейные функции.

Разлагая в степенной ряд в окрестности нулевого приближения и удерживая только линейные члены разложения, получим:

Линеаризация уравнений является необходимым подготовительным этапом, в результате которого строится алгоритм и программа статического расчета гидросистем.  Для реализации процесса итераций все графические характеристики аппроксимируются конечными наборами точек: а первые производные функций появляющиеся вследствие линеаризации уравнений, в точке ( или ) заменяются их конечно-разностными отношениями:

(23)

Что касается нелинейностей вида в уравнениях насоса, гидромотора, гидроцилиндра и ряда других элементов, то на каждой n - ой итерации эти функции можно рассматривать как известные величины, если подставлять вместо их значения, полученные на предыдущей  ( n –1)-ой итерации.

Структурный анализ схемы и минимизация числа неизвестных. В каждом узле гидросхемы возможны следующие сочетания переменных:
- давление, расход жидкости;
- сила, линейная скорость, линейное перемещение;
- крутящий момент, угловая скорость, угол поворота.

Это позволяет перейти к укрупненной системе переменных: «силы» (силы, давления, крутящие моменты), «скорости» (линейные или угловые, расход жидкости), «перемещения» (линейные или угловые), которые индексируются по номерам узлов схемы.
После линеаризации и перехода к укрупненной системе обозначений неизвестных можно записать уравнения элементов в общем виде:

(24)

где – обобщенные «сила», «скорость», «перемещение» в узле – коэффициенты.
Однако, как видно из уравнений (2) – (20) для статического расчета, число неизвестных можно сократить, поскольку расходы на входе (узел i ) и выходе (узел j ) для целого ряда гидроэлементов (например, трубопровода, дросселя, клапана) равны. Поэтому до формирования матрицы коэффициентов системы линеаризованных уравнений гидроэлементов целесообразно провести структурный анализ схемы для минимизации числа неизвестных. Это позволяет значительно сократить время вычислений, так как число операций, выполняемых при решении системы линейных алгебраических уравнений n –го порядка, пропорционально .
В любой схеме гидропривода имеются участки, в пределах которых в стационарном режиме расход жидкости не меняется. К ним относятся, как уже отмечалось, участки, состоящие из трубопроводов, дросселей, клапанов. В то же время количество неизвестных расходов в схеме определяется теми гидроэлементами, у которых расходы на входе и выходе различны (насос, гидромотор, гидроцилиндр, тройник). Этими элементами вся гидросхема может быть разбита на участки, вдоль которых расход постоянен, следовательно, каждый такой участок начинается и заканчивается одним из перечисленных элементов. Значит, для нумерации расходов вдоль указанных участков достаточно пронумеровать их на выходе элементов: насоса, гидромотора, гидроцилиндра, тройника.

В качестве примера на рис. 4 а представлена произвольная гидросхема с нумерацией расходов в узлах, из которой видно, что фактически число неизвестных расходов равно 8, в то время как общее число узлов, в которых требуется определить эти расходы, равно 18. Отметим, что таким образом будут пронумерованы расходы на всех участках схемы, кроме тех, в которые жидкость поступает из бака. Поэтому, помимо расходов на выходе указанных элементов следует также пронумеровать и расходы во входных линиях ряда элементов, соединенных с гидробаком (рис. 4 б ).

Рис. 4. Нумерация расходов (подач)

а – в узлах схемы, б – во входных линиях гидроэлементов

Алгоритм нумерации переменных сводится к следующему. Сначала «просматривается» набор элементов схемы. Затем в соответствии с введенной идентификацией базовых гидроэлементов анализируется тип элемента, в зависимости от которого и нумеруются расходы и скорости:

1) для насоса порядковый номер получает расход (подача) на выходе (в узле j ); если вход насоса (узел i ) соединен с баком, то порядковый номер присваивается и расходу на входе;

2) для гидромотора и гидроцилиндра порядковые номера получают расход в узле j и скорость в узле k ; если узел i соединен с баком, то расход в узле i также получает порядковый номер;

3) для тройника : при делении потока порядковые номера получают расходы в узлах j и k ; при суммировании потоков порядковый номер получает только расход в узле k ;

4) для дросселя и клапана порядковый номер получает расход в узле i , если он соединен с баком;

5) для дизеля порядковый номер получает угловая скорость в узле j .

После этого номер расхода на входе каждого участка присваивается расходам в остальных узлах данного участка.

После нумерации расходов и скоростей нумеруются неизвестные «силы» и «перемещения», в результате чего получается новая система неизвестных, в которой первыми пронумерованы «скорости», затем – «силы» и наконец – «перемещения». Как показывает анализ, размерность новой системы неизвестных в среднем на 30 – 40% меньше, что приводит к сокращению времени решения задачи в 3 – 4 раза.

В результате структурного анализа схемы каждому ее узлу М ставится в соответствие тройка чисел

номера неизвестных «скорости», «силы» и «перемещения» в узле М . Если в данном узле нет неизвестной «скорости», «силы» или «перемещения», то соответственно
Изложенный алгоритм нумерации неизвестных и минимизации их количества реализован в специальном программном модуле структурного анализа схемы и производится автоматически для каждой рассматриваеиой гидросхемы.

Формирование матрицы коэффициентов. Матрица коэффициентов системы линеаризованных уравнений (22) формируется следующим образом. Идентификатор элемента определяет группу из L уравнений (24) данного элемента – субматрицу, коэффициенты которых образуют L строк формируемой матрицы. Номерам узлов элемента однозначно соответствуют номера новых неизвестных в данном узле, определяющие положение коэффициентов уравнений в строке матрицы (номер столбца).

Для иллюстрации процесса формирования матрицы рассмотрим пример. Пусть очередным элементом является гидромотор с номерами узлов i , j , k и пусть к данному моменту времени  было сформировано n строк матрицы ( n уравнений). Запишем линеаризованные уравнения гидромотора в общем виде:

(25)

которые выбираются в соответствии с идентификатором элемента. Предположим, что в результате структурного анализа схемы неизвестные, входящие в систему уравнений (25), получили следующие номера: Тогда три строки формируемой матрицы, соответствующие уравнениям (25), будут иметь вид:

Остальные элементы строки [кроме коэффициентов уравнений (25)] равны нулю. Затем выбирается следующий элемент и т.д. Процесс формирования матрицы продолжается до тех пор, пока не выбраны все элементы схемы.

Алгоритм решения системы уравнений. Для статического расчета использована итерационная схема решения, в основе которой лежит метод Ньютона-Рафсона . Система линеаризованных уравнений (22) в матричной форме может быть приведена к виду:

A [ ] x = B [ ],            (26)

где A [ ], B [ ] – соответственно матрица коэффициентов (матрица Якоби) и столбец правых частей уравнений, зависящие от нулевого приближения ; x – вектор неизвестных: ( ). На n –ой итерации система уравнений (26) принимает вид:

A [ ] x n = B [ ],           (27)

где – решение, полученное на предыдущей ( n –1)–ой итерации.

Таким образом, на n -ой итерации по значениям вычисляются матрицы A [ ] и B [ ], а затем, решается система линейных уравнений (27), в результате чего определяется x n . Процесс повторяется до тех пор, пока не будет удовлетворена заданная точность ε по каждой l – ой компоненте вектора x n :

l = 1,…, N .            (28)

Сходимость итерационного процесса в значительной мере зависит от выбора непротиворечивого нулевого приближения. Заметим, что часто бывает целесообразным для получения корректного нулевого приближения запустить пробный динамический расчет этой же схемы с произвольными начальными условиями и с внешними возмущениями, соответствующими рассматриваемому стационарному режиму. Такой переходный процесс достаточно быстро сходится асимптотически к решению, близкому к искомому нулевому приближению, и следовательно, его можно принять в качестве требуемого нулевого приближения.