Дифференциальные уравнения - Метод Эйлера
Метод Эйлера
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(1)
с начальным условием
Подставив
в уравнение (1), получим значение производной в точке
:
При малом
имеет место:
Обозначив
, перепишем последнее равенство в виде:
(2)
Принимая теперь
за новую исходную точку, точно также получим:
В общем случае будем иметь:
(3)
Это и есть
метод Эйлера
. Величина
называется
шагом интегрирования
. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения
у
, так как производная
на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной
. Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции
у
, тем большую, чем больше
. Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.
Более точным является
модифицированный метод Эйлера с пересчетом
. Его суть в том, что сначала по формуле (3) находят так называемое «грубое приближение» (прогноз):
а затем пересчетом
получают тоже приближенное, но более точное значение (коррекция):
(4)
Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной
на шаге интегрирования
, так как учитываются ее значения
в начале и
в конце шага (рис. 1), а затем берется их среднее. Метод Эйлера с пересчетом (4) является по существу методом Рунге-Кутта 2-го порядка [2], что станет очевидным из дальнейшего.
Рис. 1. Геометрическое представление метода Эйлера с пересчетом.
|