Интерполирование сплайнами

Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Стирлинга и др. при использовании большого числа узлов интерполяции на всем отрезке [ a , b ] часто приводят к плохому приближению из-за накопления погрешностей в процессе вычислений [2]. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязательно приводит к повышению точности. Для снижения погрешностей весь отрезок [ a , b ] разбивается на частичные отрезки и на каждом из них функцию заменяют приближенно полиномом невысокой степени. Это называется кусочно-полиномиальной интерполяцией .

Один из способов интерполирования на всем отрезке [ a , b ] является интерполирование сплайнами .

Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция, определенная наотрезке [ a , b ] и имеющая на этом отрезке некоторое количество непрерывных производных. Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса.

Рассмотрим один из наиболее распространенных в практике случаев – интерполирование функции кубическим сплайном .
Пусть на отрезке [ a , b ] задана непрерывная функция . Введем разбиение отрезка:

(6)

и обозначим , .

Сплайном, соответствующим данной функции и узлам интерполяции (6) называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом отрезке , функция является кубическим многочленом;

2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [ a , b ] ;

3)

Третье условие называется условием интерполирования . Сплайн, определяемый условиями 1) – 3), называется интерполяционным кубическим сплайном .

Рассмотрим способ построения кубического сплайна [2].

На каждом из отрезков , будем искать сплайн-функцию в виде полинома третьей степени:

(7)

где искомые коэффициенты.

Продифференцируем (7) трижды по х :

откуда следует

Из условия интерполирования 3) получаем:

.           (8)

Кроме того, будем считать .

Из условий непрерывности функции вытекает:

Отсюда с учетом (7) получим:

Обозначив и опуская промежуточные выкладки [2], окончательно получим систему уравнений для определения коэффициентов :

(9)

В силу трехдиагональности матрицы коэффициентов система (9) имеет единственное решение [2]. Найдя коэффициенты , остальные коэффициенты определим по явным формулам:

(10)

Таким образом, существует и найден единственный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям 1) –  3) .