Метод конечных разностей (метод сеток)

Идея метода конечных разностей (метода сеток) известна давно, с соответствующих трудов Эйлера. Однако практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых систем алгебраических уравнений, на решение которых требовались годы. В настоящее время, с появлением быстродействующих компьютеров, ситуация в корне изменилась. Этот метод стал удобен для практического использования и является одним из наиболее эффективных при решении различных задач математической физики.

Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что

1)  на плоскости в области А , в которой ищется решение, строится сеточная область А s (рис.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s ( s – шаг сетки)  и являющаяся приближением данной области А ;

2)  заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки А s соответствующим конечно-разностным уравнением;

3) с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области А s .

Рис. 1. Построение сеточной области

Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки А s , т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области А s зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области А s наилучшим образом аппроксимировал контур области А .

Рассмотрим уравнение Лапласа

(1)

где p ( x , y ) – искомая функция, x , y – прямоугольные координаты плоской области и получим соответствующее ему конечно-разностное уравнение.

Заменим частные производные и в уравнении (1) конечно-разностными отношениями:

Тогда решая уравнение (1) относительно p ( x , y ), получим:

(2)

Задав значения функции p ( x , y ) в граничных узлах контура сеточной области А s в соответствии с граничными условиями и решая полученную систему уравнений (2) для каждого узла сетки, получим численное решение краевой задачи (1) в заданной области А .

Ясно, что число уравнений вида (2) равно количеству узлов сеточной области А s , и чем больше узлов (т.е. чем мельче сетка), тем меньше погрешность вычислений. Однако надо помнить, что с уменьшением шага s возрастает размерность системы уравнений и следовательно, время решения. Поэтому сначала рекомендуется выполнить пробные вычисления с достаточно крупным шагом s , оценить полученную погрешность вычислений, и лишь затем перейти к более мелкой сетке во всей области или в какой-то ее части.