Алгебраические и трансцендентные уравнения - Примеры
Примеры
П р и м е р 1. Решить кубическое уравнение
с относительной точностью
=0.001 методом касательных Ньютона-Рафсона.
Р е ш е н и е . В данном случае
Следовательно,
В качестве нулевого приближения примем
=3 (точное значение корня
=2). Тогда по формуле (7) получим:
,
,
Проверим, достигнута ли заданная относительная точность
:
Продолжим итерации:
.
Вновь проверим, достигнута ли заданная относительная точность
:
.
Следующая итерация с точностью до 6-ти десятичных знаков дает практически точное значение корня:
.
Однако, и здесь следует проверить, достигнута ли заданная относительная точность
:
.
Найденный корень уравнения равен 2.0000001. Таким образом, вычислительный процесс сошелся за 4 итерации, и мы получили искомый корень с заданной относительной точностью
.
П р и м е р 2. Решить кубическое уравнение
с относительной точностью
=0.001 методом итераций.
Р е ш е н и е . Перепишем заданное уравнение в виде (3):
где
Тогда по формуле (4) получим:
Условие сходимости в данном случае имеет вид:
но в этом интервале нет корней уравнения
. Более того, для функции
в окрестности корня
=2 имеет место неравенство
, т.е. условие сходимости не выполняется и искать решение уравнения в виде
не имеет смысла, так как численный процесс будет расходящимся. Поэтому следует записать данное уравнение по-другому:
тогда
и очевидно, что в окрестности корня
=2 здесь имеет место неравенство:
, следовательно, выполняется условие сходимости. Поэтому решение данного кубического уравнения будем искать по формуле:
Примем вновь в качестве нулевого приближения
=3. Тогда получим:
На этом шаге заданная относительная точность
достигнута:
,
поэтому процесс нахождения корня уравнения может считаться завершенным. Найденный корень уравнения равен 2.000050. Таким образом, и здесь искомый корень найден за 4 итерации с заданной относительной точностью
.
П р и м е р 3. Решить кубическое уравнение
с относительной точностью
=0.001 методом хорд.
Р е ш е н и е . Здесь
Будем искать решение на отрезке [0, 4] (напомним, что точное значение корня
=2). В качестве нулевого приближения примем
=0. Тогда по формуле (12) получим:
На этом шаге заданная относительная точность
достигнута:
,
и таким образом, процесс нахождения корня может считаться завершенным. Найденный корень уравнения равен 1.9986328. Здесь искомый корень уравнения с заданной относительной точностью
получен за 12 итераций.
П р и м е р 4. Решить кубическое уравнение
методом половинного деления с точностью
=0.001.
Р е ш е н и е . Здесь
В качестве начального рассмотрим отрезок [0, 3], так как его концах функция
F
(
x
) принимает разные знаки:
Тогда согласно условию сходимости (11) в данном примере получим:
,
откуда следует
т.е. для достижения заданной точности решения этого уравнения методом половинного деления на отрезке [0, 3] потребуется не менее 12 итераций.
Последовательность действий методом половинного деления сводится к следующему: на каждом шаге рассматриваем очередной отрезок, делим его пополам и вычисляем значение функции
F
(
x
) в середине этого отрезка, выбираем ту половину отрезка, на концах которой
F
(
x
) имеет разные знаки. Результаты проведенных последовательных действий по методу половинного деления сведены в таблицу:
№№
п/п
|
Рассматриваемый отрезок
|
Значение функции
F
(
x
)
в левом конце отрезка
|
Значение функции
F
(
x
)
в правом конце отрезка
|
Середина отрезка (приближенное значение корня на данном шаге)
|
Значение функции
F
(
x
) в
середине отрезка
|
Точность решения
|
1
|
[0, 3]
|
– 10.000
|
+20.000
|
1.5
|
– 5.125
|
1.5
|
2
|
[1.5, 3]
|
– 5.125
|
+20.000
|
2.25
|
+3.640
|
0.75
|
3
|
[1.5, 2.25]
|
– 5.125
|
+3.640
|
1.875
|
– 1.533
|
0.375
|
4
|
[1.875, 2.25]
|
– 1.533
|
+3.640
|
2. 0625
|
+0.836
|
0.1875
|
5
|
[1.875, 2. 0625]
|
– 1.533
|
+0.836
|
1.96875
|
– 0.400
|
0.09375
|
6
|
[1.96875, 2. 0625]
|
– 0.400
|
+0.836
|
2. 015625
|
+0.205
|
0.046875
|
7
|
[1.96875, 2. 015625]
|
– 0.400
|
+0.205
|
1.9921875
|
– 0.101
|
0.023437
|
8
|
[1.9921875, 2.015625]
|
– 0.101
|
+0.205
|
2.00390625
|
+0.051
|
0.011719
|
9
|
[1.9921875, 2.00390625]
|
– 0.101
|
+0.051
|
1.998046875
|
– 0.025
|
0.005859
|
10
|
[1.998046875, 2.00390625]
|
– 0.025
|
+0.051
|
2.0009765625
|
+0.013
|
0.002930
|
11
|
[1.998046875, 2.0009765625]
|
– 0.025
|
+0.013
|
1.99951172
|
– 0.006
|
0.001465
|
12
|
[1.99951172, 2.000244]
|
– 0.006
|
+0.003
|
1.999878
|
– 0.0016
|
0.000732
|
На 12-ом шаге в соответствии с оценкой (11) достигается заданная точность решения:
,
следовательно, для решения этого уравнения с заданной точностью методом половинного деления на отрезке [0, 3] потребовалось, как и ожидалось, 12 итераций. Найденный корень уравнения равен 1.999878. Заметим, что, если бы в данном примере мы рассмотрели отрезoк [0, 4] в качестве начального, то уже на первой итерации получили бы точное решение уравнения, так как
|