Метод решения

Для решения системы нелинейных уравнений (1) применим итерационный метод Ньютона-Рафсона , общая схема которого сводится к следующему.

Пусть задана система нелинейных уравнений вида:

(2)

где – неизвестные, входящие в уравнения, – нелинейные функции.
Разлагая в степенной ряд в окрестности нулевого приближения и удерживая только линейные члены разложения, получим:

( ) + ( )( ) + … + ( )( ) = 0,
i = 1, … , N .                           (3)

Система линеаризованных уравнений (3) в матричной форме может быть приведена к виду:

(4)

где A [ ], B [ ] – соответственно матрица коэффициентов (матрица Якоби) и столбец правых частей уравнений, зависящие от нулевого приближения ; x – вектор неизвестных: . На n –ой итерации система уравнений (4) принимает вид:

(5)

где – решение, полученное на предыдущей ( n –1)–ой итерации.

Таким образом, на n –ой итерации по значениям вычисляются матрицы A [ ] и B [ ], а затем, решается система линейных уравнений (5), в результате чего определяется . Процесс повторяется до тех пор, пока не будет удовлетворена заданная точность по каждой j – ой компоненте вектора :

j = 1, … , N .          (6)

Сходимость итерационного процесса Ньютона-Рафсона в значительной мере зависит от выбора нулевого приближения.

Таким образом, алгоритм Ньютона-Рафсона сводится к последовательному выполнению следующих этапов решения задачи:

1) линеаризация (3) исходных уравнений в окрестности предыдущей итерации (нулевого приближения);

2) задание исходных данных и нулевого приближения;

3) формирование на каждой итерации матрицы Якоби и столбца правых частей для системы линеаризованных уравнений (5);

4) решение на каждой итерации сформированной системы линейных уравнений (5), например методом Гаусса;

5) сравнение двух соседних итераций по условию сходимости (6) с заданной точностью.

Линеаризация уравнений является необходимым подготовительным этапом, в результате которого строится алгоритм и программа решения задачи тягового расчета. Для реализации итерационного процесса все графические характеристики аппроксимируются конечными наборами точек: а первые производные функций появляющиеся вследствие линеаризации уравнений, в точке ( или ) заменяются их конечно-разностными отношениями:

,    причем (7)

Исходные данные и нулевое приближение задаются пользователем-расчетчиком непосредственно перед запуском программы расчета. Остальные пункты 3) – 5) реализуются автоматически в ходе выполнения программы.

Если условие (6) выполнено, то итерационный цикл для данного значения Т заканчивается, вычисляются мощность и КПД двигателя, гидротрансформатора, тяговая мощность, часовой расход топлива и ряд других показателей, значение Т увеличивается на величину заданного шага Δ Т и определяются неизвестные по новому итерационному циклу. В результате получается тяговая характеристика, соответствующая всему диапазону изменения тягового усилия Т . Если условие (6) не выполняется, то итерационный цикл для данного значения Т либо продолжается до его выполнения, либо прерывается при слишком большом числе проведенных итераций (свыше 20-ти). В этом случае выдается соответствующее сообщение и пользователю необходимо проверить и возможно скорректировать некоторые параметры расчета (изменить нулевое приближение, шаг Δ Т , увеличить допуск и т.д.).