Алгоритмы формирования и решения математической модели схемы

Формирование исходных данных. Вся исходная информация для проведения динамического анализа схем гидропривода состоит из двух частей:
- информация о структуре рассматриваемой гидросхемы;
- информация о физических и конструктивных параметрах элементов гидросхемы.

Первая часть исходной информации строится в соответствии с изложенным выше методом структурного описания гидросхем , основанном на классификации базовых гидроэлементов, введении обобщенного трехузлового элемента с узлами i (вход), j (выход) и k (управление,  преобразование энергии, подвод или отбор мощности). На основании введенной классификации каждый гидроэлемент получил определенный идентификатор е , обозначающий тип элемента и однозначно определяющий группу уравнений для математического описания элемента данного типа. В соответствии с этим разработаны специальные формы (таблицы) исходных данных. Каждый элемент (кроме распределителя) описывается строкой таблицы исходных данных, имеющей следующую структуру:

(38)

где n – номер элемента; А – матрица-строка коэффициентов, характеризующих физические, геометрические и конструктивные параметры элемента, что составляет содержание второй части исходной информации.

У элементов, имеющих только два узла (например, дроссель, трубопровод, дизель) третий узел обозначен нулем. Номер элемента n предназначен для выбора нужного массива коэффициентов из общего поля исходных данных при формировании системы уравнений.

Как уже омечалось выше, единственным элементом, выпадающим из концепции трехузлового элемента, является золотниковый гидрораспределитель, поскольку число примыкающих к нему узлов может быть больше трех. Поэтому его описание отличается от остальных гидроэлементов. После нумерации узлов гидрораспределителя необходимо записать попарно номера узлов его каналов в различных позициях золотника, причем порядок указания узлов (вход-выход) для каждого канала золотника определяется направлением потока рабочей жидкости. При этом изменение направления потока с изменением положения золотника может произойти не во всей схеме. Например, в напорной и сливной линиях гидрораспределителя направление потока не меняется. Поэтому для учета направления потока в узле для каждого соединения наряду с номером узла следует указать знак потока в этом узле, который определяется принятым положительным направлением потока в примыкающей к данному узлу гидролинии. Каждое соединение узлов золотникового распределителя представляет собой местное сопротивление с переменной площадью проходного сечения, зависящей от положения золотника (рис. 4).

С учетом этих особенностей для гидрораспределителей разработаны таблицы с другой структурой:

(39)

где е – идентификатор распределителя; n – номер распределителя; – номера узлов входа ( i ) и выхода ( j ) соединений 1, ... , N ; А – матрица-строка коэффициентов, характеризующих физические и конструктивные параметры распределителя; F – матрица проходных сечений соединений 1, ... , N в функции перемещения z золотника распределителя, причем z является функцией времени, либо функцией некоторого параметра (например, давления или перемещения поршня гидроцилиндра и т.д.).

Представление исходных данных в таком виде позволяет производить единое описание всей схемы, так как переключение золотника из одной позиции в другую будет автоматически определять схему соединений элементов.

Для формирования математической модели динамики гидросистемы необходимо также задать входящие в уравнения параметры рабочей жидкости ( плотность, кинематическую вязкость, объемный модуль упругости ).

Формирование математической модели гидросистемы в целом. В результате анализа строки таблицы исходных данных для каждого элемента в зависимости от его идентификатора строится система дифференциальных и/или алгебраических уравнений вида:

(40)

где обобщенные переменные в узлах ; т – размерность системы уравнений элемента данного типа; s – размерность системы дифференциальных уравнений; принимают значения , т.е. номеров узлов, соответствующих данному элементу;  конкретный вид правых частей , физический смысл переменных , размерности m и s однозначно определяются идентификатором элемента.

Для гидрораспределителей формированию уравнений предшествует анализ соединений его узлов, так как в промежуточном положении золотника (при его переключении из одной позиции в другую) в одном узле могут пересекаться несколько соединений. Поэтому расходы в узлах, принадлежащих одновременно различным соединениям, получаются суммированием расходов в соответствующих соединениях [см. уравнения (22), являющиеся аналогом первого закона Кирхгофа для электрических цепей].

Описание каждого гидроэлемента реализуется в общем случае двумя отдельными блоками: Д (дифференциальные уравнения математической модели элемента) и/или А (алгебраические или трансцендентные уравнения математической модели элемента).

На основании исходной информации формируются следующие поля исходных данных.

Матрица связей:

(41)

отличающаяся от матрицы S [см. (1)] наличием дополнительного столбца номеров элементов.

Матрица параметров элементов гидросистемы:

(42)

где – массивы параметров насосов; – массивы параметров гидромоторов; – массивы параметров гидроцилиндров и т.д.; – массивы параметров распределителей; М – число типов элементов в рассматриваемой классификации (может пополняться); n = 1, 2, … – номера элементов данного типа.

Формирование математической модели гидросистемы осуществляется по следующему алгоритму. Рассматривается элемент ( т = 1, ... , N ), производится его сравнение с каждым из возможных идентификаторов (НАСОС, МОТОР, ТРУБА, ...). При совпадении с одним из них производится обращение к соответствующему этому типу элемента блоку дифференциальных ( Д ) и/или алгебраических ( А ) уравнений с передачей основных данных: . Посредством из матрицы выбирается ее элемент (строка коэффициентов), где I соответствует определенному перед этим идентификатору гидроэлемента. В результате из общей библиотеки математических моделей выбираются требуемые уравнения, в которые подставляются нужные коэффициенты. Затем происходит переход к следующему элементу и т.д. до тех пор, пока не будет полностью исчерпан список элементов гидросхемы (столбец е матрицы ), что означает завершение процесса формирования системы уравнений.

Внешние возмущения и сигналы управления. Управление моделью (решением системы уравнений) осуществляется специальным блоком, в функцию которого входит генерирование сигналов внешнего воздействия: сил сопротивления, внешних нагрузок в отдельных элементах гидросистемы (гидромоторов, гидроцилиндров), переключение управляющих гидроэлементов (золотников распределителей, управляемых клапанов, регулируемых дросселей, насосов и т.п.); остановка решения по заданному условию и т.д. В блоке управления можно смоделировать как типовые внешние возмущения (синусоидальное, скачкообразное, линейное и т.п.), так и нестандартные, имеющие место в большинстве случаев и определяемые конкретной задачей. Более того, для рассмотрения задач с изменяющимися физическими и конструктивными параметрами (переменные массы и моменты инерции, давления настройки предохранительных клапанов и т.д.) в блоке управления можно предусмотреть задание этих величин в функции времени или другой переменной, получаемой в результате решения. Кроме того, в блоке управления представляется возможным задание управляющих воздействий и сил сопротивления как функций, аппроксимируемых конечным набором дискретных значений или имеющих определенный спектр.

Алгоритм решения. Для интегрирования систем дифференциальных уравнений в настоящее время существует огромное множество методов численного интегрирования (методы Рунге-Кутта, Эйлера и их модификации, метод Гира и т.д.), на базе которых разработанa масса различных модификаций соответствующих программ, что позволяет всегда выбрать подходящий аппарат решения. Однако, в нашем случае моделирования динамики гидросистем имеется особенность, состоящая в том, что полученная система уравнений – смешанного типа, наряду с дифференциальными она содержит алгебраические (трансцендентные) уравнения для определения подач насосов, расходов гидромоторов, потерь давлений по длине трубопроводов, политропного процесса в газовой полости гидропневматического аккумулятора, различных нелинейностей. Решение таких систем уравнений в замкнутой форме (аналитически) не представляется возможным из-за непреодолимых сложностей необходимых для этого преобразований. Поэтому для отыскания численного решения можно поступить следующим образом. Имея значения давления на входе трубопровода на n - ом шаге интегрирования , давление на выходе определим, пользуясь приближенным уравнением:

(43)

т.е. взяв значения на предыдущем, ( n – 1) - ом, шаге интегрирования.
Ввиду малости шага численного интегрирования, а также малости всего второго слагаемого в правой части уравнения (43) погрешность, получаемая при такой замене, пренебрежимо мала.

В силу высказанных соображений уравнение потерь давлений по длине трубопроводов, записанное в виде (43), дает вполне удовлетворительные результаты и позволяет решить остальные уравнения (для определения расходов) в конечном виде.