Библиотека гидроэлементов и их математических моделей

Вид уравнений базовых гидроэлементов зависит, вообще говоря, от допущений, принимаемых при решении конкретных задач. Поскольку в данном случае нами рассматриваются методы автоматизированного динамического расчета, характеризующегося двумя основными особенностями: автоматическим формированием математической модели путем выбора нужных уравнений из общей библиотеки математических моделей и построением на основе этого программ массового пользования, рассчитанных на применение к гидросистемам произвольного вида, необходимо было выбрать из большого числа имеющихся наиболее употребительные модели элементов, приемлемые для решения как можно более широкого круга задач. Поэтому для некоторых гидроэлементов, описываемых с различной степенью детализации (трубопровод, местные сопротивления), автором были проведены специальные исследования [1], целью которых был сравнительный анализ применяемых моделей для оценки степени их адекватности при различных внешних возмущениях и параметрах. В результате для описания гидроэлементов, выбранных в качестве базовых были приняты приведенные ниже математические модели, в которых введены следующие обозначения: р – давление; Q – подача или расход; М – крутящий момент. Индексация переменных величин производится по номерам узлов, в которых действует данная переменная (рис. 1).
Приведенная ниже библиотека уравнений гидроэлементов в принципе может допускать их различное математическое описание при условии сохранения концепции трехузлового элемента.

Насос. Для описания насоса достаточно записать уравнение моментов на валу (узел k ) и уравнения потоков на входе (узел i ) и выходе (узел j ) с учетом объемных потерь. При этом неравномерность подачи насоса вследствие кинематических особенностей и сжимаемости жидкости в полостях всасывания и нагнетания не учитывается. С учетом принятых допущений математическая модель насоса имеет вид [1, 2]:

,            (3)

где q н – максимальный рабочий объем насоса; f ( q ) – параметр регулирования; – 1 ≤ f ( q ) ≤ 1; ω в – угловая скорость вала двигателя (дизеля); а ω , а p , а – коэффициенты гидромеханических потерь насоса, зависящих от угловой скорости, давления, и постоянная гидромеханических потерь; u д – передаточное число редуктора между двигателем и насосом; k ут – коэффициент объемных потерь насоса; для Q i , p i принимается знак «плюс», а для Q j , p j – «минус». Значения а ω , а p , а , k ут выбирают по каталогу или из паспортных характеристик механического и объемного КПД насоса определенного типоразмера.
Гидромеханические потери, зависящие от давления, вычисляются по модулю для возможности рассмотрения тормозных режимов и реверсирования потока (когда f ( q )< 0).

Гидромотор. Математическая модель гидромотора должна отражать его динамику (уравнение моментов в узле k , разрешенное относительно углового ускорения и записанное в нормальной форме), а также уравнения потоков на входе (узел i ) и выходе (узел j ) с учетом объемных потерь.
Без учета неравномерности расхода (аналогично насосу) уравнения гидромотора имеют вид [1, 2]:

(4)

где ω k – угловая скорость вала гидромотора; J гм – момент инерции гидромотора с учетом вращающихся масс рабочего механизма; q м – максимальный рабочий объем гидромотора; f ( q ) – параметр регулирования; – 1 ≤ f ( q ) ≤ 1; М н – нагрузочный момент; b ω , b p , b – коэффициенты гидромеханических потерь гидромотора, зависящих от угловой скорости, давления, и постоянная гидромеханических потерь; u мех – передаточное число редуктора рабочего механизма; k ут – коэффициент объемных потерь гидромотора; для Q i , p i принимается знак «плюс», а для Q j , p j – «минус».
Как и для насоса, значения b ω , b p , b , k ут выбирают по каталогу или из паспортных характеристик механического и объемного КПД гидромотора определенного типоразмера. Гидромеханические потери в уравнении моментов записаны с учетом направления вращения вала (sign ω k ) и возможности рассмотрения тормозного режима (| p i – p j |).

Гидроцилиндр. Динамика гидроцилиндра описывается уравнениями поступательного движения поршня (узел k ) под действием сил давления, внешней нагрузки, сил трения и уравнениями расходов на входе (узел i ) и выходе (узел j ) с учетом сжимаемости жидкости в полостях цилиндра.
На основании общепринятого допущения об отсутствии утечек в гидроцилиндре с резиновыми и другими мягкими уплотнениями уравнения динамики гидроцилиндра имеют вид [1, 2]:

(5)

где v k – скорость перемещения поршня; т – приведенная к штоку масса подвижных частей гидроцилиндра; F i = π ( D – D )/4 – рабочая площадь поршня в полости I , примыкающей к узлу i (здесь D ц – диаметр цилиндра; D i – диаметр штока в полости I ); F j = π ( D – D )/4 – рабочая площадь поршня в полости II , примыкающей к узлу j (здесь D j – диаметр штока в полости II ); h – коэффициент вязкого трения; R – сила трения в манжетных уплотнениях при отсутствии давления; R ц – усилие на штоке; L ц – ход поршня.

Коэффициенты пропорциональности между давлениями в полостях I (узел i )  и II (узел j ) и силой трения в манжетных уплотнениях:

k i = π f ( D ц + D i ) H / 2, k j = π f ( D ц + D j ) H / 2,

а коэффициенты упругости полостей с жидкостью:

k = (ΔV i + z k F i ) / E , k = [ΔV j + ( L ц – z k ) F j ] / E ,

где f – коэффициент трения уплотнения по поверхности цилиндра; H – высота манжетного уплотнения; ΔV i и  ΔV j – мертвые объемы полостей I

и II ; E – приведенный объемный модуль упругости полости с жидкостью:

E = ,

здесь Е – объемный модуль упругости рабочей жидкости; – толщина стенки цилиндра; Е – модуль упругости материала стенки цилиндра.
Здесь и далее функция сухого трения f ( v k ) записана для краткости в виде R sign v k . На самом деле, если записать уравнение движения в общем виде:

m = P – f ( vk ),

где P – движущая сила, то функция сухого трения f ( v k ) определится следующим образом [2]:

Такая модель трения отражает наличие зоны застоя при нулевой скорости подвижной части, например, при страгивании.

Трубопровод. Для описания динамических процессов в трубопроводе с жидкостью использована математическая модель с сосредоточенными параметрами на входе (узел i ) и выходе (узел j ) трубопровода, справедливая при следующих условиях:
- волновые процессы не рассматриваются;
- потери давления по длине зависят от среднего значения расходов на входе и выходе;
- инерционная составляющая рабочей жидкости не учитывается.
Тогда математическая модель трубопровода с жидкостью имеет вид [1, 2]:

(7)

где k – коэффициент упругости трубопровода с жидкостью; – коэффициент потерь давления по длине трубопровода, – плотность рабочей жидкости.

k = ,

здесь d и L – диаметр и длина трубопровода; E – приведенный объемный модуль упругости трубопровода с жидкостью:

E = ,

где Е – объемный модуль упругости рабочей жидкости; δ –  толщина стенки трубопровода; Е – модуль упругости материала трубопровода.

здесь Re = 2 | Qi + Qj | / ( d ) – число Рейнольдса, – кинематическая вязкость жидкости.

Тупиковый участок трубопровода (полость). Для тупикового участка трубопровода потерями давления по длине можно пренебречь, и тогда уравнения динамики принимают вид:

(8)

где k – коэффициент упругости тупикового участка трубопровода с жидкостью:

k = ,

здесь d и L – диаметр и длина тупикового участка трубопровода; E – приведенный объемный модуль упругости трубопровода с жидкостью:

E = ,

где Е – объемный модуль упругости рабочей жидкости; δ – толщина стенки тупикового трубопровода; Е – модуль упругости материала трубопровода.

Местное сопротивление (дроссель). Расход жидкости через дроссель связан с перепадом давления на входе (узел i ) и выходе (узел j ) известной зависимостью [1, 2]:

(9)

где – коэффициент расхода, = (здесь – коэффициент гидравлического сопротивления); – площадь проходного сечения дросселя.

Использование уравнений расходов (9) часто служит причиной неустойчивости вычислительного процесса из-за стремления к бесконечности производной квадратного корня в нуле (это имеет место при малых перепадах давлений). Уравнение (9) определяет расход через дроссель в установившемся режиме течения жидкости и, следовательно, не учитывает инерционные свойства жидкости. Более точно зависимость расхода через дроссель выражается дифференциальным уравнением [3]:

(10)

где l – длина столба жидкости в местном сопротивлении; кроме того, для краткости записи здесь обозначено: .
Однако для практического использования уравнение (10) малопригодно. Дело в том, что длина l столба жидкости определяется не только конструктивной длиной местного сопротивления, но и длиной зоны неустановившегося течения на выходе дросселя (так называемого «факела»), определить которую даже экспериментальным путем очень трудно. Кроме того, при рассмотрении регулируемого дросселя возникают трудности вычислительного характера, связанные с разрывностью правой части уравнения (10) при = 0. В работе [1] было показано, что уравнение (10) без существенных погрешностей можно заменить линеаризованным относительно Q дифференциальным уравнением:

(11)

которое лишено указанных недостатков и асимптотическое решение которого совпадает с решением уравнения (9). Здесь В – параметр, учитывающий инерционность столба жидкости и зависящий от l и ряда других величин ( имеет размерность времени).
Уравнения расходов для других видов местных сопротивлений (тройников, клапанов, гидрозамков, распределителей) аналогичны уравнениям (11).

Тройник (делитель или сумматор потоков). Уравнения расходов в узлах i , j , k тройника при делении потока имеют вид [1, 2]:

(12)

где – коэффициенты расхода в ветвях тройника i – j , i – k ; = (здесь – коэффициенты гидравлических сопротивлений ветвей тройника i – j , i – k ); – площади проходных сечений тройника в узлах j и k .
Уравнения расходов при суммировании потоков аналогичны (12), но имеют другие значения коэффициентов расхода.
Принято допущение, что коэффициенты гидравлических сопротивлений при смене направления потока не меняются.

Клапаны.
Клапан прямого действия описывается уравнениями движения запорно-регулирующего элемента (узел k ) и расходов (узлы i и j ) [1, 2]:

(13)

где v k – скорость движения запорно-регулирующего элемента; m – масса подвижной части клапана; F i и F j – рабочие площади запорно-регулирующего элемента клапана со стороны напорной и сливной линии; h – коэффициент вязкого трения; R – сила трения; с – жесткость пружины; – величина предварительного сжатия пружины; – ход запорно-регулирующего элемента; – площадь проходного сечения дросселя, подсоединенного параллельно клапану; – средний диаметр дросселирующей щели клапана; – угол конусности клапана; В – параметр, учитывающий инерционность столба жидкости.

Приведенные уравнения относятся к предохранительному и обратному клапану. Соответствующие уравнения для редукционного клапана имеют незначительные отличия. В уравнениях (13) не учтена гидродинамическая сила, которая оказывает существенное влияние лишь на статическую характеристику клапана [2].

Клапан непрямого действия можно представить в виде двух элементов: основного клапана с узлами r , s , t и вспомогательного клапана с узлами i , j , k . Если узел j является общим для обоих клапанов, т.е. s = k , то математическая модель клапана непрямого действия имеет вид [1, 2]:

(14)

где т и М – массы подвижных частей вспомогательного и основного клапанов; – рабочие площади запорно-регулирующего элемента вспомогательного клапана со стороны напорной и сливной линий; – рабочие площади запорно-регулирующего элемента основного клапана со стороны напорной линии и межклапанной полости; h и H – коэффициенты вязкого трения вспомогательного и основного клапанов; – силы трения во вспомогательном и основном клапанах; с и С – жесткости пружин вспомогательного и основного клапанов; предварительное сжатие пружин вспомогательного и основного клапанов; ход подвижных частей вспомогательного и основного клапанов; G – проводимость жиклерного отверстия основного клапана; средние диаметры дросселирующих щелей вспомогательного и основного клапанов; углы конусности вспомогательного и основного клапанов;

Гидроаккумулятор. Для описания динамики гидропневматического или пружинного аккумулятора необходимо записать уравнения движения поршня (мембраны) в узле k , уравнение давлений на входе (узел i ) и уравнение политропного процесса в газовой полости (узел j ) [1, 2]:

(15)

где т – масса подвижной части гидроаккумулятора; F = D / 4 – рабочая площадь поршня; D – диаметр поршня; h – коэффициент вязкого трения; с – жесткость пружины; z – предварительное сжатие пружины; – сила трения при отсутствии давления; – коэффициент пропорциональности между силой трения и давлением в рабочей полости; f – коэффициент трения уплотнения по поверхности цилиндра; Н – высота манжетного уплотнения; V – общий объем гидроаккумулятора; k – коэффициент упругости полости с жидкостью:

k = (ΔV + z F ) / E ,

здесь ΔV – мертвый объем полости с жидкостью; E – приведенный объемный модуль упругости полости с жидкостью:

E = ,

здесь Е – объемный модуль упругости рабочей жидкости; – толщина стенки аккумулятора; Е – модуль упругости материала стенки аккумулятора; – давление зарядки газа; n –показатель политропы; – атмосферное давление.

Регулятор мощности предназначен для поддержания в определенном рабочем диапазоне насоса постоянства мощности, отбираемой от двигателя pQ = const. На самом деле, регулятор мощности обеспечивает постоянство величины: p f ( q ) = const. Однако, учитывая, что Q = q н f ( q ) , где q н практически постоянно, можно говорить, что регулятор мощности обеспечивает постоянный отбор мощности от двигателя. Статическая характеристика регулятора мощности (рис. 2) имеет вид кусочно-линейной функции, аппроксимирующей гиперболическую зависимость  рабочего объема насоса от давления: p f ( q ) = const. На практике это осуществляется посредством подбора пружин  1-ой и 2-ой ветвей характеристики регулятора мощности (соответственно, АО и О D , рис. 2).

Рис. 2. Статическая характеристика регулятора мощности

Тогда регулятор мощности описывается следующей системой уравнений [1, 2]:

(16)

где т – масса подвижной части регулятора; А – коэффициент, учитывающий для аксиально-поршневых насосов дополнительный момент, действующий на качающий узел; F – рабочая площадь плунжера под давлением каждой из двух магистралей; – сила предварительного сжатия пружины; R – сила трения; – жесткости пружин; – ход плунжера на 1-ой ветви характеристики регулятора; h – коэффициент вязкого трения; – максимальный ход плунжера регулятора.

Гидрозамок. Гидрозамки (или управляемые обратные клапаны) используются для фиксации и управления опусканием рабочих органов, находящихся под действием внешних нагрузок, в гидросистемах строительных машин (кранов, погрузчиков, грузовых лебедок). На рис. 3 показана расчетная схема гидрозамка и схема его подключения в гидросистеме. При подаче жидкости 1 в полость под клапаном 3 последний работает как обычный обратный клапан, пропуская поток рабочей жидкости к гидроцилиндру. При подаче жидкости 1 под поршень толкателя 2 последний принудительно открывает клапан, обеспечивая дросселирование потока на выходе гидроцилиндра при опускании поршня. На схеме индексами i , j , k обозначены узлы соответственно входа, выхода и перемещения клапана, а индексами r , s , t – узлы соответственно входа, выхода и перемещения толкателя. Гидрозамки выпускаются в двух модификациях: с общим дренажем толкателя и клапана (в этом случае r = i ) и с раздельным дренажем ( тогда r i ).

Рис. 3. Гидрозамок и схема его подключения в гидросистеме.

В зависимости от того, находятся ли толкатель и клапан в контакте или нет, динамика гидрозамка описывается двумя различными математическими моделями. В момент возникновения контакта, когда толкатель начинает воздействовать на клапан, происходит их соударение, что приводит к необходимости коррекции координат состояния в соответствии с существующими зависимостями теории ударных систем.
При отсутствии контакта толкателя и клапана динамика гидрозамка описывается следующей системой уравнений [1, 2, 4]:

(17)

где т и М – массы клапана и толкателя; – рабочие площади клапана и толкателя на входе ( i , r ) и выходе ( j , s ); – силы трения клапана и толкателя; h – коэффициент вязкого трения; с , – жесткость и предварительное сжатие пружины; l и L – максимальный ход клапана и толкателя; – коэффициент расхода, диаметр щели и угол конусности клапана.
При наступлении контакта толкателя и клапана, когда

,           (18)

и при отсутствии удара оба тела перемещаются совместно, поэтому их движение описывается системой уравнений:

(19)

где х 0 – начальный зазор между толкателем и клапаном.

Данная модель является неполной, так как, учитывая большие скорости и геометрию подвижных частей, соприкосновение которых можно рассматривать как центральный удар упругих стержней, было бы неверным считать, что при выполнении условий (18) система мгновенно переходит из состояния, описываемого уравнениями (17) в состояние, описываемое уравнениями (19). Этим объясняется необходимость введения модели переходного – ударного режима.

Для рассматриваемой ударной системы «толкатель-клапан» можно применить формулы классической гипотезы удара. Пусть до удара тело массой т имело скорость , а тело массой М имело скорость ; тогда скорости этих тел после удара (соответственно ) будут равны

(20)

где – коэффициент восстановления.
Предварительные расчеты принятой ударной модели при k = –0.5 показали, что возникающие высокочастотные ударные колебания клапана относительно толкателя имеют достаточно малую амплитуду, и кроме того, в результате их затухания наступает такой момент, когда величиной отскоков можно пренебречь, считая толкатель и клапан «слипшимися» [уравнения (19)]. Поэтому удар толкателя о клапан в итоге был принят неупругим (коэффициент восстановления k = 0). После удара производится пересчет скоростей толкателя и клапана по формулам (20) при k = 0, т.е. скорости обоих тел принимаются равными скорости центра масс, а дальнейшее движение считается совместным.

Золотниковый распределитель. Гидрораспределитель представляет собой комплекс местных сопротивлений, образованных его каналами и связывающих примыкающие к ним узлы r и s .

Расход через каждое такое местное сопротивление выражается уравнением, аналогичным уравнению (11):

(21)

где – площадь проходного сечения канала гидрораспределителя, соединяющего узлы r и s в функции перемещения золотника z , максимальное значение которой равно (здесь – условный проход).
В промежуточном положении золотника каналы могут пересекаться в одном узле, в котором, следовательно, произойдет суммирование или разделение потоков рабочей жидкости. Поэтому расходы в узлах, принадлежащих одновременно различным каналам распределителя, получаются суммированием расходов через соответствующие каналы, сходящиеся в данном узле. Следовательно,

(22)

где i , … , m – номера узлов распределителя; расходы в узлах i , … , m распределителя; определяются уравнениями вида (21).
Изменение проходных сечений каналов распределителя может быть аппроксимировано, например, трапецеидальной характеристикой, однозначно определяемой четырьмя положениями золотника: (рис. 4):

Рис. 4. Зависимость площади проходного сечения канала от перемещения золотника.

(23)

Дизель с центробежным регулятором. Динамика дизеля с центробежным регулятором описывается уравнением моментов на валу двигателя (узел j ) и уравнением движения муфты регулятора (узел k ) [1]:

(24)

где приведенный к валу дизеля момент инерции вращающихся деталей (здесь – момент инерции дизеля; – момент инерции насоса; – передаточное число редуктора дизеля); – характеристика дизеля при минимальной подаче топлива, аппроксимируемая конечным набором точек – приращение крутящего момента при максимальной подаче топлива; – постоянные настройки регулятора дизеля; – нагрузочный момент насоса, приводимый к валу дизеля; – коэффициент вязкого трения в регуляторе дизеля; – передаточное отношение привода регулятора; с , F – жесткость и сила предварительного сжатия пружины; – максимальный ход муфты регулятора.

Колесо (колесный движитель). Для проведения тягово-динамических расчетов гидрообъемных трансмиссий самоходных колесных машин необходимо рассмотреть в качестве одного из базовых гидроэлементов колесо (колесный движитель) – рис. 1. На схеме индексами i , j , k обозначены соответственно узлы входа (приводной вал колеса), выхода (точка контакта колеса с дорогой) и перемещения машины. Рассматриваемая здесь модель колесного движителя описывает жесткую связь колеса с гидромотором, т.е. возможные упругие деформации редуктора и вала между гидромотором и колесом не рассматриваются.

Рис. 5. К выводу уравнений динамики колеса.

а – расчетная схема, б – кривая буксования, в – деформация шины.

С учетом принятых допущений математическая модель динамики колеса (колесного движителя), рис. 5 а , имеет вид:

(25)

где М i – момент на колесе с учетом потерь в редукторе; М n – момент, приведенный к валу гидромотора; – тяговая реакция (окружная сила) на колесе; r – динамический радиус колеса; – КПД и передаточное число редуктора колеса; угловые скорости вала гидромотора и колеса; тангенциальная жесткость шины; функция буксования (рис. 5 б ); масса, скорость, перемещение и суммарная сила сопротивления перемещению машины; N – число ведущих колес (осей).

В установившемся режиме окружная сила R на колесе связана с относительной пробуксовкой зависимостью [1, 6]:

(26)

где

(27)

Здесь ω – угловая скорость колеса; v – скорость поступательного движения машины (узел k , рис. 1).
Величина динамического радиуса колеса r зависит от статического прогиба колеса под нагрузкой и динамического изменения прогиба колеса y ( t ) , зависящего от массы, приходящейся на ось, жесткости и демпфирования шин, неровностей профиля дороги. В нашем случае величину y ( t ) можно считать внешним воздействием. Тогда

(28)

где – свободный радиус колеса; составляющая веса машины, приходящаяся на ось; радиальная жесткость шины.

В неустановившемся режиме зависимось (26), имеющая статический характер, должна быть заменена динамической моделью. Для этого воспользуемся предложенной в [5] методикой, в соответствии с которой окружная сила R на колесе является функцией продольной деформации шины (рис.  5 в ), а также сжатия набегающих волокон. После ряда преобразований [2] окончательно получим динамическую модель окружной силы R на колесе:

(29)

При установившемся режиме и тогда

(30)

т.е. в установившемся режиме функция буксования равна относительной пробуксовке колеса [ср. уравнения (29) – (30) с уравнениями (26) – (27)]. Таким образом, математическая модель колеса (колесного движителя) состоит из уравнений (25) и (30).

Элементы систем управления (типовые линейные динамические звенья автоматического регулирования) . В системах управления объемным гидроприводом используются разнообразные физические устройства: гидравлические, электромагнитные, электрогидравлические и др. Поэтому при решении задач динамики гидросистем приходится моделировать различные по своей природе системы управления и регулирования. Большинство из них хорошо описывается с помощью типовых линейных динамических звеньев автоматического регулирования [7]. К ним относятся:

1)  идеальное усилительное (безынерционное) звено – сумматор;
2)  апериодическое звено 1-го порядка (инерционное);
3)  апериодическое звено 2-го порядка;
4)  колебательное звено;
4a) консервативное звено (частный случай колебательного звена);
5)  идеальное интегрирующее звено;
6)  инерциальное интегрирующее звено;
7)  идеальное дифференцирующее звено;
8)  идеальное звено с введением производной;
9)  инерционное дифференцирующее звено;
10)  динамическое звено 2-го порядка (общий случай).

Математические модели перечисленных линейных динамических звеньев записаны далее в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, а не в операторной форме (в виде передаточных функций), поскольку нас интересуют переходные процессы во временно’й, а не в частотной области.

В общем случае линейное динамическое звено 2-го порядка описывается уравнением:

(31)

где сигналы на входе звена; их производные по времени; х – сигнал на выходе звена; коэффициенты уравнения.

Для всех остальных типов динамических звеньев их уравнения получены как частные случаи (31):

идеальное усилительное (безынерционное) звено – сумматор:

апериодическое звено 1-го порядка (инерционное):

апериодическое звено 2-го порядка и колебательное звено:

консервативное звено:

идеальное интегрирующее звено:

инерциальное интегрирующее звено:

идеальное дифференцирующее звено:

идеальное звено с введением производной:

инерционное дифференцирующее звено:

Таким образом, все типовые линейные звенья могут быть объединены в один обобщенный элемент ЗВЕНО (идентификатор этого элемента в библиотеке базовых гидроэлементов) с узлами i (вход), j (выход), k (дополнительный вход для звена – сумматора). Учитывая специфику гидравлических систем, в правых частях уравнений динамических звеньев в качестве входных сигналов могут быть добавлены давления:

(32)

Условия, ограничения, комментарии. Приведенные математические модели гидроэлементов следует дополнить рядом ограничений, отражающих физические свойства переменных, а также некоторые конструктивные особенности устройств (например, упоры подвижных частей).

Поскольку в уравнениях рассматривается избыточное давление, необходимо выполнение условий:

(33)

(34)

где – атмосферное давление; – расходы на входе и выходе рассматриваемой полости; – коэффициент упругости полости с жидкостью.

В ряде элементов (гидроцилиндр, клапан, регулятор мощности, дизель и др.) перемещение z подвижных частей ограничено упорами. Такого рода нелинейности могут быть заданы в виде неравенств:

(35)

(36)

(37)

где L – максимальное значение перемещения z ; А – правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно ; В – правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно .
Заметим, что уравнения для определения давлений входят в описание тех элементов, которые содержат значительные по сравнению с другими элементами объемы рабочей жидкости (например, гидроцилиндры, трубопроводы, включая тупиковые, гидроаккумуляторы). Поэтому на расчетной гидросхеме эти элементы должны быть разделены другими гидроустройствами, в которых сжимаемостью жидкости можно пренебречь и уравнения которых служат для определения расходов (например, полость гидроцилиндра и трубопровод, гидроаккумулятор и трубопровод, или два последовательно соединенных трубопровода, должны быть разделены дросселем или местным сопротивлением, что не противоречит физическому смыслу). Это позволяет получить замкнутую систему уравнений для определения давлений и расходов в местах соединения гидроэлементов.