Библиотека гидроэлементов и их математических моделей

Статический расчет является основным этапом при проектировании гидравлических приводов и трансмиссий различных машин и механизмов. На основании результатов статического расчета осуществляется синтез гидросхемы и подбор элементов определенного типоразмера. Но в то же время он тесно связан с динамическим расчетом как предварительный этап, необходимый для корректного задания начального состояния гидросистемы при моделировании переходных процессов.
В приведенных ниже уравнениях статики гидроэлементов приняты те же обозначения, а для описания исходных данных элементов используются те же идентификаторы и таблицы, что и при динамическом анализе.

Насос. Для описания насоса достаточно записать уравнение моментов на валу (узел k ) и уравнения потоков на входе (узел i ) и выходе (узел j ) с учетом объемных потерь. При этом неравномерность подачи насоса вследствие кинематических особенностей и сжимаемости жидкости в полостях всасывания и нагнетания не учитывается. С учетом принятых допущений математическая модель насоса имеет вид [1, 2]:

,           (2)

где q н – максимальный рабочий объем насоса; f ( q ) – параметр регулирования; – 1 ≤ f ( q ) ≤ 1; ω в – угловая скорость вала двигателя (дизеля); а ω , а р , а – коэффициенты гидромеханических потерь насоса, зависящих от угловой скорости, давления, и постоянная гидромеханических потерь; u д – передаточное число редуктора между двигателем и насосом; k ут – коэффициент объемных потерь насоса; для Q i , p i принимается знак «плюс», для Q j , p j – «минус».
Значения а ω , а р , а , k ут выбирают по каталогу или из паспортных характеристик механического и объемного КПД насоса определенного типоразмера.
Гидромеханические потери, зависящие от давления, вычисляются по модулю для возможности рассмотрения тормозных режимов и реверсирования потока (когда f ( q )< 0).

Гидромотор. Математическая модель гидромотора содержит уравнение моментов в узле k , а также уравнения потоков на входе (узел i ) и выходе (узел j ) с учетом объемных потерь. Без учета неравномерности расхода (аналогично насосу) уравнения гидромотора имеют вид [1, 2]:

(3)

где ω k – угловая скорость вала гидромотора; q м – максимальный рабочий объем насоса; f ( q ) – параметр регулирования; – 1 ≤ f ( q ) ≤ 1; М н – нагрузочный момент; b ω , b р , b – коэффициенты гидромеханических потерь гидромотора, зависящих от угловой скорости, давления, и постоянная гидромеханических потерь; u мех – передаточное число редуктора рабочего механизма; k ут – коэффициент объемных потерь насоса; для Q i , p i принимается знак «плюс», для Q j , p j – «минус».
Как и для насоса, значения b ω , b р , b , k ут выбирают по каталогу или из паспортных характеристик механического и объемного КПД гидромотора определенного типоразмера.
Гидромеханические потери в уравнении моментов записаны с учетом направления вращения вала (sign ω k ) и возможности рассмотрения тормозного режима (| p i – p j |).

Гидроцилиндр. Гидроцилиндр описывается уравнением баланса сил (сил давления, внешней нагрузки, сил трения) при поступательном движении поршня (узел k ) и уравнениями расходов на входе (узел i ) и выходе (узел j ). На основании общепринятого допущения об отсутствии утечек в гидроцилиндре с резиновыми и другими мягкими уплотнениями уравнения статики гидроцилиндра имеют вид [1, 2]:

(4)

где v k – скорость перемещения поршня; F i = π ( D – D )/4  – рабочая площадь поршня в полости I , примыкающей к узлу i (здесь D ц – диаметрцилиндра; D i – диаметр штока в полости I ); F j = π ( D – D )/4 – рабочая площадь поршня в полости II , примыкающей к узлу j (здесь D j – диаметр штока в полости II ); h – коэффициент вязкого трения; R – сила трения в манжетных уплотнениях при отсутствии давления; R – усилие на штоке.
Коэффициенты пропорциональности между давлениями в полостях I (узел i )  и II (узел j ) и силой трения в манжетных уплотнениях:

k i = π f ( D ц + D i ) H / 2, k j = π f ( D ц + D j ) H / 2.        (5)

Трубопровод. Математическая модель трубопровода с жидкостью состоит из равенства расходов на входе (узел i ) и выходе (узел j ) и уравнения потерь давления по длине и имеет вид [1, 2]:

(6)

где – коэффициент потерь давления по длине трубопровода,

(7)

здесь   Re = 4 | Q i | / ( d ) – число Рейнольдса, – кинематическая вязкость жидкости; – плотность рабочей жидкости; d и L – диаметр и длина трубопровода.

Тупиковый участок трубопровода (полость). Для тупикового участка трубопровода потерями давления по длине можно пренебречь, и тогда уравнения статики тупикового участка трубопровода принимают вид:

(8)

Местное сопротивление (дроссель). Расход жидкости через дроссель связан с перепадом давления на входе (узел i ) и выходе (узел j ) известной зависимостью [1, 2]:

(9)

где – коэффициент расхода, = (здесь – коэффициент гидравлического сопротивления); – площадь проходного сечения дросселя.
Тройник (делитель или сумматор потоков). Уравнения расходов в узлах i , j , k тройника при делении потока имеют вид [1, 2]:

(10)

где – коэффициенты расхода в ветвях тройника i – j , i – k ; = (здесь – коэффициенты гидравлических сопротивлений ветвей тройника i – j , i – k ); – площади проходных сечений тройника в узлах j и k .
Уравнения расходов при суммировании потоков аналогичны (10), но имеют другие значения коэффициентов расхода.
Принято допущение, что коэффициенты гидравлических сопротивлений при смене направления потока не меняются.

Клапаны.
Клапан прямого действия описывается уравнениями статики запорно-регулирующего элемента (узел k ) и расходов в узлах i и j [1, 2]:

(11)

где F i и F j – рабочие площади запорно-регулирующего элемента клапана со стороны напорной и сливной линии; с – жесткость пружины; – величина предварительного сжатия пружины; – ход запорно-регулирующего элемента; – площадь проходного сечения дросселя, параллельного клапану; – средний диаметр дросселирующей щели клапана; – угол конусности клапана.
Приведенные уравнения относятся к предохранительному и обратному клапану. Соответствующие уравнения для редукционного клапана имеют незначительные отличия. В уравнениях (11) не учтена гидродинамическая сила.

Клапан непрямого действия состоит из двух элементов: основного клапана с узлами r , s , t и вспомогательного клапана с узлами i , j , k . Если узел слива j является общим для обоих клапанов, то s = j . Математическая модель статики клапана непрямого действия имеет вид [2]:

(12)

где – рабочие площади запорно-регулирующего элемента вспомогательного клапана со стороны напорной и сливной линий; – рабочие площади запорно-регулирующего элемента основного клапана со стороны напорной линии и межклапанной полости; с и С – жесткости пружин вспомогательного и основного клапанов; предварительное сжатие пружин вспомогательного и основного клапанов; ход подвижных частей вспомогательного и основного клапанов; G – проводимость жиклерного отверстия основного клапана; средние диаметры дросселирующих щелей вспомогательного и основного клапанов; углы конусности вспомогательного и основного клапанов;

(13)

Гидроаккумулятор. Для описания стационарного режима гидропневматического или пружинного аккумулятора необходимо записать уравнения равновесия поршня (мембраны) в узле k , уравнение расхода на входе (узел i ) и уравнение политропного процесса в газовой полости (узел j ) [1, 2]:

(14)

где F = D / 4 – рабочая площадь поршня; D – диаметр поршня; с – жесткость пружины; z – предварительное сжатие пружины; V – общий объем гидроаккумулятора; – давление зарядки газа; n –показатель политропы; – атмосферное давление.

Регулятор мощности предназначен для поддержания в определенном рабочем диапазоне насоса постоянства мощности, отбираемой от двигателя pQ = const. На самом деле, регулятор мощности обеспечивает постоянство величины: p f ( q ) = const. Однако, учитывая, что Q = q н f ( q ) , где q н практически постоянно, можно говорить, что регулятор мощности обеспечивает постоянный отбор мощности от двигателя. Статическая характеристика регулятора мощности (рис. 2) имеет вид кусочно-линейной функции, аппроксимирующей гиперболическую зависимость  рабочего объема насоса от давления: p f ( q ) = const. На практике это осуществляется посредством подбора пружин 1-ой и 2-ой ветвей характеристики регулятора мощности (соответственно, АО и О D , рис. 2).

Рис. 2. Статическая характеристика регулятора мощности

Тогда в статике регулятор мощности описывается следующим уравнением [1, 2]:

(15)

где А – коэффициент, учитывающий для аксиально-поршневых насосов дополнительный момент, действующий на качающий узел; F – рабочая площадь плунжера под давлением каждой из двух магистралей; – сила предварительного сжатия пружины; R тр – сила трения; – жесткости пружин; – ход плунжера на 1-ой ветви характеристики регулятора; – максимальный ход плунжера регулятора.
Дизель с центробежным регулятором. Дизель с центробежным регулятором в статике можно описать уравнением моментов на валу двигателя (узел j ) и уравнением равновесия муфты регулятора (узел k ) [1, 2]:

(16)

где – характеристика дизеля при минимальной подаче топлива, аппроксимируемая конечным набором точек – приращение крутящего момента при максимальной подаче топлива; – постоянные настройки регулятора дизеля; – нагрузочный момент на валу дизеля; – передаточное отношение привода регулятора; с , F – жесткость и сила предварительного сжатия пружины; – максимальный ход муфты регулятора.

Колесо (колесный движитель). Для проведения тяговых расчетов гидрообъемных трансмиссий самоходных колесных машин необходимо рассмотреть в качестве одного из базовых элементов колесо (колесный движитель) – рис. 1. На схеме индексами i , j , k обозначены соответственно узлы входа (приводной вал колеса), выхода (точка контакта колеса с дорогой) и перемещения машины. Рассматриваемая здесь модель колесного движителя описывает жесткую связь колеса с гидромотором. С учетом принятых допущений математическая модель колеса (колесного движителя) в статике имеет вид:

(17)

где М i – момент на колесе с учетом потерь в редукторе; М n – момент, на валу гидромотора; – тяговая реакция (окружная сила) на колесе; r – радиус колеса; – КПД и передаточное число редуктора колеса; угловые скорости вала гидромотора и колеса; W – суммарная сила сопротивления перемещению машины; N – число ведущих колес (осей).

В установившемся режиме окружная сила R на колесе связана с относительной пробуксовкой зависимостью [1, 3]:

(18)

где

(19)

Рис. 3. Функция буксования колеса.

Здесь f (| δ |) – функция буксования колеса (рис. 3); ω – угловая скорость колеса; v – скорость поступательного движения машины (узел k , рис. 1).

Величина радиуса колеса r зависит от статического прогиба колеса под нагрузкой :

(20)

где – свободный радиус колеса; составляющая веса машины, приходящаяся на ось; радиальная жесткость шины.