Распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение , если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m , … , n ,  а соответствующие им вероятности равны:

(21)

где  0 < p < 1, q = 1 – p ; m = 0, 1, 2, ... , n .

Как видно из (21), вероятности Р m вычисляются, как члены разложения бинома Ньютона , откуда и название «биномиальное распределение».

Примером является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки , т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей.

Биномиальное распределение определяется двумя параметрами: n и p . Cлучайная величина, распределенная по биномиальному закону, имеет следующие основные числовые характеристики:

(22)

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона , если она имеет бесконечное счетное множество возможных значений 0, 1, 2, ... , m , …,  а соответствующие им вероятности определяются формулой:

(23)

Примерами случайных явлений, подчиненных закону распределения Пуассона, являются: последовательность радиоактивного распада частиц, последовательность отказов при работе сложной компьютерной системы, поток заявок на телефонной станции и многие другие.
Закон распределения Пуассона (23) зависит от одного параметра а , который одновременно  является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины Х , распределенной по закону Пуассона. Таким образом, для распределения Пуассона имеют место следующие основные числовые характеристики:

(24)

Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение , если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m , … , а вероятности этих значений:

(25)

где 0 < p < 1, q = 1 – p ; m = 0, 1, 2, ... .

Вероятности Р m для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q , откуда и название «геометрическое распределение».

В качестве примера рассмотрим стрельбу по некоторой цели до первого попадания , причем вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов  и сохраняет постоянное значение р (0 < p < 1). Тогда количество произведенных выстрелов будет случайной величиной с геометрическим распределением вероятностей.

Геометрическое распределение определяется одним параметром р . Cлучайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, имеет следующие основные числовые характеристики:

(26)

Гипергеометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами a , b , n ,  если ее возможные значения  0, 1, 2, ... , m , … , а имеют вероятности:

(27)

Гипергеометрическое распределение возникает, например, когда из урны, содержащей а черных и b белых шаров, вынимают n шаров. Случайной величиной, подчиненной гипергеометрическому закону распределения, является число белых шаров среди вынутых. Основные числовые характеристики этой случайной величины:

(28)