Введение

При решении инженерно-технических и других прикладных задач часто бывает необходимо найти производную определенного порядка от функции , заданной таблично. Кроме того, иногда в силу сложности аналитического выражения функции ее непосредственное дифференцирование слишком затруднительно. В этих случаях обычно используют численное дифференцирование . Здесь существует множество различных приемов и способов [1– 3]. Одной из самых простых формул для вычисления производной функции является формула вычисления производной через равноотстоящие узлы [2, 3]:

(1)

где h – шаг, , .

Иногда заданную функцию на интересующем нас отрезке [ a , b ] заменяют интерполирующей функцией , чаще всего полиномом, а затем полагают [1]:

,             (2)

при .

Аналогичным образом вычисляют производные функции высших порядков.

Если известна погрешность интерполирующей функции :

,           (3)

то погрешность производной равна:

,          (4)

т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции . Это справедливо и для производных высших порядков. Вообще говоря, численное дифференцирование является операцией менее точной, чем интерполирование функции, иными словами близость друг к другу ординат функций и на отрезке [ a , b ] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных, т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одних и тех же значениях аргумента  (рис.1).

Рис.1. Разница в производных заданной функции y = f ( x ) и интерполирующей функции y = P ( x )