Формулы численного дифференцирования

1. На основе первой инерполяционной формулы Ньютона

Для нахождения первой и второй производных функции функцию у , заданную в равноотстоящих точках ( i = 0, 1, 2, …, n ) отрезка [ a , b ] значениями , приближенно заменяют интерполяционным многочленом Ньютона, построенным для системы узлов [1]:

(5)

Раскрывая скобки и учитывая, что

получим:

.        (6)

Аналогично, учитывая

получим:

.              (7)

Таким же образом можно при необходимости вычислить производную функции любого порядка. Заметим, что при вычислении производных в фиксированной точке х в качестве следует брать ближайшее табличное значение аргумента.
Можно также вывести формулы численного дифференцирования, основанные на второй интерполяционной формуле Ньютона [1].

2. На основе инерполяционной формулы Стирлинга

Пусть – система равноотстоящих точек с шагом и соответствующие значения данной функции . Полагая и заменяя функцию интерполяционным полиномом Стирлинга, получим:

(8)

где для краткости записи введены следующие обозначения:

и т.д.

Из (8) с учетом того, что , следует:

(9)

.    (10)