Содержание >> Прикладная математика >> Математическая статистика >> Обработка результатов эксперимента >> Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона

Обработка результатов эксперимента - Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона

Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона

Для выравнивания (аппроксимации) статистических распределений используется множество различных методов: полиномиальной аппроксимации, рядами Шарлье, пертурбационными многочленами Крамера, метод Пирсона и др. Основным недостатком полиномиальной аппроксимации является формальность получаемых распределений – тип аппроксимации не связан с природой случайного явления. Методы Шарлье и Крамера подходят к аппроксимации распределений, приближенных к нормальному. В отличие от них метод Пирсона достаточно универсален и охватывает практически все известные виды статистических распределений. Пирсон [1, 2] предложил для описания статистического распределения случайной величины Х использовать решения дифференциального уравнения:

(1)

где началом отсчета х служит его среднее значение, М – мода.

Коэффициенты в уравнении (1) могут быть вычислены с помощью центральных моментов .

При введении обозначений они находятся из сотношений:

(2)

Введем вспомогательную величину:

(3)

Тогда систему уравнений (2) можно переписать в виде:

(2 а )

Вычислим дискриминант знаменателя в уравнении (1):

Обозначим

(4)

Тогда

Общий интеграл уравнения (1) существенно зависит от вида корней квадратного уравнения и определяется критерием κ («каппа Пирсона»):

1. При вещественные корни различных знаков.

2. При комплексные корни.

3. При вещественные корни одного знака.

Каждому из этих случаев соответствует один из основных типов кривых Пирсона – I , IV и VI . Остальные девять типов и кривая нормального распределения – их частные или граничные случаи. Чаще всего на практике встречаются первые семь типов кривых Пирсона. На рис.1 приведен график для определения типа кривой по параметрам [1, 2].

Рис. 1. График для определения типа кривой Пирсона в зависимости от

Рассмотрим уравнения кривых Пирсона I – VII типов и способы определения входящих в них параметров [1, 2].

Кривая I типа соответствует κ < 0; ее уравнение имеет вид:

(5)

Показатели степени – корни уравнения

(6)

причем при берется , а при – наоборот.

Коэффициенты определяются по формулам:

(7)

где

Начальная ордината

(8)

Здесь Г(z) – гамма-функция :

(9)

Областью определения кривой I типа является интервал: , коэффициенты положительны, больше – 1.

Рис. 2. Кривые Пирсона I типа

В зависимости от значений различают три разновидности кривой I типа (рис. 2):

1. При ее ординаты ограниченны (рис. 2, а , б , в , г ).

2. При разных знаках значения плотности распределения на одном из концов интервала стремятся к бесконечности (J-образные кривые, рис.2, д , е , ж , з ).

3. При распределение становится антимодальным (U-образным) – рис. 2 и .

Кривая IV типа соответствует и описывается уравнением:

(10)

где

(11)

Знак ν выбирается противоположным знаку . Начальная ордината

(12)

а – табулированная функция.

Начало координат берется в точке (здесь – математическое ожидание случайной величины Х ). Кривая IV типа является асимметричной (рис. 3), лежащей на бесконечном интервале . Мода этого распределения

Рис. 3. Кривая Пирсона IV типа

Кривая VI типа соответствует κ > 1 и описывается уравнением:

(13)

Здесь

(14)

(15)

причем должно быть выполнено условие

Начало координат берется в точке а начальная ордината

(16)

Кривая лежит на интервале от а до +∞ при и от –∞ до а при . Возможные варианты кривой типа VI при представлены на рис. 4.

Рис. 4. Кривые Пирсона VI типа

Следующая группа кривых Пирсона соответствует частным значениям критерия κ .

Кривая III типа имеет место при и описывается уравнением:

(17)

причем х меняется от – а до +∞. Форма кривой – та же, что и на рис. 4 для кривой VI типа с заменой m 1 на и а на – а . Параметры кривой определяются по формулам:

(18)

Мода существует при

Частным случаем кривой Пирсона III типа при является кривая Х типа – экспонента:

(19)

Начало координат – в точке .

Кривая V типа соответствует κ = 1. Ее уравнение имеет вид:

(20)

Здесь

(21)

Функция y = f ( x ) определена при всех х > 0. Начало координат – в точке Общий вид кривой представлен на рис. 5.

Рис. 5. Кривая Пирсона V типа

При κ = 0 в зависимости от значения получаются кривые II или VII типа или нормальное распределение.

Кривая II типа получается при и описывается уравнением:

(22)

где

(23)

Коэффициент Начало координат соответствует среднему значению статистического распределения. Кривая II типа симметрична относительно начала координат и определена для При распределение становится антимодальным (U-образным).