Выравнивание статистических распределений. Кривые ПирсонаДля выравнивания (аппроксимации) статистических распределений используется множество различных методов: полиномиальной аппроксимации, рядами Шарлье, пертурбационными многочленами Крамера, метод Пирсона и др. Основным недостатком полиномиальной аппроксимации является формальность получаемых распределений – тип аппроксимации не связан с природой случайного явления. Методы Шарлье и Крамера подходят к аппроксимации распределений, приближенных к нормальному. В отличие от них метод Пирсона достаточно универсален и охватывает практически все известные виды статистических распределений. Пирсон [1, 2] предложил для описания статистического распределения случайной величины Х использовать решения дифференциального уравнения:
где началом отсчета х служит его среднее значение, М – мода. Коэффициенты в уравнении (1) могут быть вычислены с помощью центральных моментов .
При введении обозначений
Введем вспомогательную величину:
Тогда систему уравнений (2) можно переписать в виде:
Вычислим дискриминант знаменателя в уравнении (1):
Обозначим
Тогда
Общий интеграл уравнения (1) существенно зависит от вида корней квадратного уравнения
1. При
2. При
3. При
Каждому из этих случаев соответствует один из основных типов кривых Пирсона –
I
,
IV
и
VI
. Остальные девять типов и кривая нормального распределения – их частные или граничные случаи. Чаще всего на практике встречаются первые семь типов кривых Пирсона. На рис.1 приведен график для определения типа кривой по параметрам
Рассмотрим уравнения кривых Пирсона
I
–
VII
типов и способы определения входящих в них параметров [1, 2].
Кривая I типа соответствует κ < 0; ее уравнение имеет вид:
Показатели степени
причем при
Коэффициенты
где
Здесь Г(z) – гамма-функция :
Областью определения кривой
I
типа является интервал:
В зависимости от значений
1. При
2. При разных знаках
3. При
Кривая
IV
типа
соответствует
где
Знак
ν
выбирается противоположным знаку
а
Начало координат берется в точке
Кривая VI типа соответствует κ > 1 и описывается уравнением:
Здесь
Начало координат берется в точке
Кривая лежит на интервале от
а
до +∞ при
Следующая группа кривых Пирсона соответствует частным значениям критерия
κ
.
Кривая
III
типа
имеет место при
Мода
Частным случаем кривой Пирсона
III
типа при
Начало координат – в точке
Здесь
Функция
y
=
f
(
x
) определена при всех
х
> 0. Начало координат – в точке
Рис. 5. Кривая Пирсона V типа
При
κ
= 0 в зависимости от значения
где
Кривая
VII
типа
соответствует
где
Коэффициент
|
Содержание
>> Прикладная математика
>> Математическая статистика
>> Обработка результатов эксперимента
>> Выравнивание статистических распределений. Кривые Пирсона