Критерии согласияДля проверки соответствия эмпирического распределения теоретическому (гипотезы) можно наложить на гистограмму теоретическую кривую (рис. 6).
При этом неизбежно обнаружатся расхождения, либо случайные, связанные с ограниченным объемом наблюдений, либо свидетельствующие о неправильном подборе выравнивающей функции (гипотезы). Для ответа на этот вопрос используют так называемые «
критерии согласия
». Для этого вводится случайная величина
U
, характеризующая расхождение эмпирического и теоретического распределений в предположении истинности теоретического распределения. Мера расхождения
U
выбирается таким образом, чтобы функция ее распределения
не зависела от вида выравниваемого (эмпирического) распределения и достаточно быстро сходилась по числу наблюдений
n
к предельной функции
. Затем определяется фактическая степень расхождения
u
и оценивается вероятность
Малая величина
говорит о том, что полученное расхождение
u
в силу чисто случайных причин маловероятно, и теоретическое распределение плохо согласуется с эмпирическим. Однако, большие вероятности не могут считаться исчерпывающим доказательством истинности теоретического закона распределения и свидетельствуют лишь об отсутствии оснований его отвергнуть.
Иногда поступают иначе: заранее рассчитывают меру расхождения , которая может быть превышена с указанной малой вероятностью, и при рассматриваемое теоретическое распределение отвергают.
Существует множество критериев согласия, среди которых наиболее употребительными являются
критерий
Пирсона
и
критерий Колмогорова-Смирнова
.
В критерии согласия Пирсона мерой расхождения теоретического и эмпирического распределений является взвешенная сумма квадратов отклонений (27) где k – число интервалов разбиения значений случайной величины, – количество наблюдений, попавшее в i -й интервал, – теоретическая вероятность появления значения из i -го интервала, n – общее число наблюдений. В практических задачах рекомендуется иметь в каждом интервале разбиения не менее 5-10 наблюдений [3].
Обозначим через
t
число независимых связей, наложенных на вероятности
. Их общее число равно количеству характеристик теоретического распределения, подбираемых по опытным данным, плюс единица (условие нормировки
). Таким образом, схема применения критерия
к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему:
1) Определяется мера расхождения
по формуле (27).
Насколько мала должна быть вероятность
р
для того, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу, не решается на основе математических соображений и выкладок. На практике, если оказывается, что
р
< 0.1, рекомендуется проверить или повторить эксперимент. Если заметные расхождения появятся снова, следует искать другой, более подходящий для описания опытных данных закон распределения. Если же вероятность
p
> 0.1 (относительно велика), то это еще не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а говорит лишь о том, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.
В критерии Колмогорова-Смирнова мерой расхождения теоретического F ( x ) и эмпирического распределений является максимальный модуль разности (28) А.Н.Колмогоров доказал, что при независимо от вида F ( x ) вероятность неравенства (29) стремится к пределу (30) Для проверки гипотезы по критерию согласия Колмогорова-Смирнова необходимо построить функции распределения F ( x ) для теоретического и для эмпирического распределений, определить максимум d модуля разности между ними и найти . После этого следует найти по специальной таблице [2] вероятность :
Малая вероятность свидетельствует о неприемлемости теоретической функции. |
Содержание
>> Прикладная математика
>> Математическая статистика
>> Обработка результатов эксперимента
>> Критерии согласия