Метод половинного деления

Рассмотрим уравнение (1):

где функция F ( x ) – непрерывна и определена на некотором отрезке и

Последнее означает, что функция F ( x ) имеет на отрезке по крайней мере один корень. Рассмотрим случай, когда корень на отрезке единственный.

Делим отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения (1). Если , то рассматриваем ту половину отрезка , на концах которой функция F ( x ) имеет разные знаки. Новый, более узкий отрезок вновь делим пополам и проводим на нем такое же рассмотрение и т.д. В результате на некотором шаге получим либо точное значение корня уравнения (1) , либо последовательность вложенных друг в друга отрезков таких, что

(9)
и
(10)

Левые концы этих отрезков образуют монотонную (неубывающую) ограниченную последовательность, а правые концы – монотонную (невозрастающую) ограниченную последовательность. Поэтому в силу равенства (10) существует общий предел

Переходя в (9) к пределу при , в силу непрерывности функция F ( x ) получим: Отсюда т.е. является корнем уравнения (1).

На практике процесс (10) считается завершенным, если

(11)

где – заданная точность решения.