Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона)

Рассмотрим вновь уравнение (1):

где функция F ( x ) - дифференцируема и определена на некотором интервале

Разложим функцию F ( x ) в степенной ряд и ограничимся линейной частью разложения:

(5)

что эквивалентно замене функции F ( x ) в произвольной точке x ее касательной в этой точке.

Тогда из (1) и (5) следует:

(6)

Если принять за нулевое приближение, то формулу (6) можно использовать для нахождения следующего, 1-го приближения:

(7)

отсюда следует, что ( n +1)-е приближение определится по формуле:

(8)

Соотношение (8) и есть метод касательных или метод Ньютона-Рафсона .

Условия сходимости процесса (8) имеют вид:

1) нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню уравнения

2) вторая производная F ’’ ( x ) не становится слишком большой,

3) первая производная F ’ ( x ) не слишком близка к 0.

Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся близко друг от друга, а совместное выполнение условий 2) и 3) аналогично требованию в методе итераций .
Процесс (8) считается завершенным, если – заданная точность решения.
Метод Ньютона-Рафсона находит широкое применение для решения систем нелинейных уравнений высокого порядка. Примеры см. здесь и здесь .