Библиотека базовых элементов и их математических моделей

Вид уравнений базовых элементов всегда зависит от допущений, принимаемых при решении конкретных задач. Поскольку в данном случае рассматриваются методы автоматизированного динамического расчета, характеризующегося двумя основными особенностями: автоматическим формированием математической модели путем выбора нужных уравнений из общей библиотеки математических моделей и построением на основе этого программ массового пользования, рассчитанных на применение к приводам произвольного вида, необходимо было выбрать из большого числа имеющихся наиболее употребительные модели элементов, приемлемые для решения как можно более широкого круга задач. В результате для описания базовых элементов механических и гидромеханических передач были приняты приведенные ниже математические модели, в которых использованы следующие обозначения: v – линейная скорость; – угловая скорость; z – линейное перемещение; – угол поворота; R – сила; М – крутящий момент. Индексация переменных величин производится по номерам узлов, в которых действует данная переменная (рис. 1).

Приведенная ниже библиотека уравнений типовых элементов в принципе может допускать их различное математическое описание при условии сохранения концепции трехузлового элемента.

Приведенные на рис. 3 характеристики элементов механических и гидромеханических приводов аппроксимируются конечным набором точек , где х – аргумент, у – функция, и задаются в табличной форме. Для получения текущего значения у ( х ) используется метод линейной интерполяции .

Рис. 3. Характеристики базовых элементов механических и гидромеханических передач:

а – дизеля; б – фрикционной муфты; в – гидротрансформатора; г – гидромуфты; д – колеса (кривая буксования).

Дизель с центробежным регулятором. Дизель с центробежным регулятором описывается уравнением моментов на валу (узел j ) и уравнением движения муфты регулятора (узел k ) [1, 2]:

(9)

где – характеристика дизеля при минимальной подаче топлива (рис. 3 а ) с учетом тормозной ветви, аппроксимируемая конечным набором точек – приращение крутящего момента при максимальной подаче топлива; – постоянные настройки регулятора дизеля; – коэффициент вязкого трения в регуляторе дизеля; – передаточное отношение привода регулятора; с , F – жесткость и сила предварительного сжатия пружины; – максимальный ход муфты регулятора.
При моделировании переходных процессов часто бывает необходимо перейти в область частичных (регуляторных) характеристик дизеля, что в реальных условиях обеспечивается изменением величины F –силы предварительного сжатия пружины, регулируемой водителем с помощью рычага управления. В общем случае величина F меняется от нуля до максимума :

(10)

где функция регулирования силы предварительного сжатия пружины,

Редуктор. В редукторе (рис. 1) имеет место постоянство передаточных чисел в узлах i , j , k , т.е.

(11)

где передаточные числа ветвей редуктора .
Пусть КПД редуктора в ветвях ; тогда суммарные потери на трение в редукторе, приведенные к узлу i , можно определить как

(12)

где абсолютные значения номинальных моментов, передаваемых соответственно в ветвях (в узлах j и k ).

Упругий вал. Момент кручения, развиваемый за счет упругой угловой деформации, зависящий также от демпфирующих свойств вала и приложенный в узле j (рис. 1), равен:

(13)

где с – угловая жесткость вала; h – коэффициент вязкого трения; угол закручивания вала, определяемый уравнением:

(14)

В узле i действует момент противоположного знака:
Фрикционная муфта. Момент, реализуемый фрикционной муфтой и приложенный в узле j (рис. 1), равен [1, 2]:

(15)

где конструктивная постоянная фрикционной муфты; давление в механизме прижатия фрикционной пары в функции времени; коэффициент трения в функции модуля относительной угловой скорости (рис. 3 б ); момент, реализуемый фрикционной муфтой при блокировке (подробно режим блокировки см. в разделе «Блокировка фрикционных муфт и гидротрансформаторов» ).
В узле i действует момент противоположного знака:

Гидротрансформатор. Моменты, развиваемые на насосном ( ) и турбинном ( ) колесах гидротрансформатора [1, 2]:

(16)

причем
Здесь D - активный диаметр рабочих колес гидротрансформатора, характеристики гидротрансформатора; (рис. 3 в ); угловые скорости насосного (узел i ) и турбинного (узел j ) колес гидротрансформатора (рис. 3 е ).

Коэффициент трансформации по определению равен:

(17)

Тогда

(18)

Если гидротрансформатор выполнен конструктивно с обгонной муфтой, то в режиме блокировки насосного (узел i ) и турбинного (узел j ) колес (подробно режим блокировки см. в разделе «Блокировка фрикционных муфт и гидротрансформаторов» ) получим:

(19)

где момент на турбинном колесе, определяемый из уравнений блокировки (см. здесь ); момент потерь на лопатках реактора:

Если насосное и турбинное колеса гидротрансформатора блокируются фрикционом, то в режиме блокировки насосного (узел i ) и турбинного (узел j ) колес (подробно режим блокировки см. в разделе «Блокировка фрикционных муфт и гидротрансформаторов» ) получим:

(20)

где момент фрикционной муфты:

,         (21)

а при равенстве угловых скоростей

(22)

Гидромуфта. Момент, реализуемый гидромуфтой:

(23)

где D - активный диаметр рабочих колес гидромуфты, характеристика гидромуфты в функции (рис. 3 г ).
Поскольку при , то режима блокировки в гиромуфте нет, так как при равенстве угловых скоростей момент, развиваемый гидромуфтой, равен нулю.

Колесо (колесный движитель). Для проведения тягово-динамических расчетов гидрообъемных трансмиссий самоходных колесных машин необходимо рассмотреть в качестве одного из базовых гидроэлементов колесо (колесный движитель) – рис. 1. На схеме индексами i , j , k обозначены соответственно узлы входа i (приводной вал колеса), выхода j (точка контакта колеса с дорогой) и перемещения машины k . Рассматриваемая здесь модель колесного движителя описывает жесткую связь колеса с гидромотором, т.е. возможные упругие деформации редуктора и вала между гидромотором и колесом не рассматриваются.

Рис. 4. К выводу уравнений динамики колеса.

С учетом принятых допущений математическая модель динамики колеса (колесного движителя), рис. 4, имеет вид [1, 2]:

(24)

где т – масса машины; окружная сила в узле j (рис. 4) на n -ом колесе (на колесах n -ой оси); W – суммарная сила сопротивления перемещению машины; скорость и перемещение машины; приведенный момент инерции вращающихся масс n -ой оси; – активный момент n -ой оси; динамический радиус колеса (колес n -ой оси); тормозной момент на валу n -ой оси, приложенный в начальном узле; N – число ведущих колес (осей).

В установившемся режиме окружная сила R на колесе связана с относительной пробуксовкой зависимостью [1, 4]:

(25)

где

(26)

Здесь ω – угловая скорость колеса; v – скорость поступательного движения машины (узел k , рис. 1).
Величина динамического радиуса колеса r зависит от статического прогиба колеса под нагрузкой и динамического изменения прогиба колеса y ( t ) , зависящего от массы, приходящейся на ось, жесткости и демпфирования шин, неровностей профиля дороги. В нашем случае величину y ( t ) можно считать внешним воздействием. Тогда

(27)

где – свободный радиус колеса; составляющая веса машины, приходящаяся на ось; радиальная жесткость шины.

В неустановившемся режиме зависимось (25), имеющая статический характер, должна быть заменена динамической моделью. Для этого воспользуемся предложенной в [3] методикой, в соответствии с которой окружная сила R на колесе является функцией продольной деформации шины (рис. 4), а также сжатия набегающих волокон. После ряда преобразований [2] окончательно получим динамическую модель окружной силы R на колесе:

(28)

При установившемся режиме и тогда

(29)

т.е. в установившемся режиме функция буксования равна относительной пробуксовке колеса [ср. уравнения (28) – (29) с уравнениями (25) – (26)].
Таким образом, математическая модель колеса (колесного движителя) состоит из уравнений (24) и (28).

Дифференциал. Дифференциал – это один из элементов, разделяющих схему на участки, для которых узлы i и j полуосей являются либо начальными (при разветвлении потока мощности), либо конечными (при суммировании потоков) – рис. 5.

Рис. 5. Кинематическая схема дифференциала.

Угловые скорости полуосей связаны со скоростью входного вала следующей кинематической зависимостью:

(30)

откуда

(31)

где передаточное число дифференциала, передаточное отношение редуктора между входным валом и водилом.
Для симметричного дифференциала , и тогда

(32)

Моменты в узлах i , j , k (рис. 5) связаны соотношениями:

(33)

Тогда, зная момент , легко определить моменты в узлах полуосей . С другой стороны, интегрируя уравнения динамики полуосей вида (2), получим , откуда, пользуясь уравнением (31), определим . Следовательно, необходимо определить величину , для чего целесообразно входной вал дифференциала всегда считать упругим . Это означает, что узел k не может быть отнесен к какому-либо участку, что учтено в алгоритме структурного анализа , в результате которого узлы i и j являются либо начальными (если в схеме есть элементы, первые узлы которых совпадают с узлами i и j дифференциала), либо конечными (если в схеме есть элементы, вторые узлы которых совпадают с узлами i и j дифференциала), а узел k не входит ни в один из участков и обязательно является узлом упругого вала . Это не ограничивает общности решения задачи, зато позволяет сравнительно легко получить интересующие нас величины.

Запишем уравнения динамики полуосей дифференциала с учетом его геометрии, кинематики и действующих сил и моментов (рис. 5).
Исходные предпосылки и основная идея вывода этих уравнений принадлежат Л.Б.Зарецкому. Введем ряд дополнительных обозначений: тангенциальные силы взаимодействия в зубчатых зацеплениях входного редуктора и дифференциала; радиусы зацеплений зубчатых колес редуктора и дифференциала; собственные моменты инерции зубчатых колес редуктора и дифференциала; моменты нагрузки, приведенные к узлам i и j полуосей. Тогда динамику дифференциала можно описать следующей системой уравнений:

(34)

Учитывая, что , а также считая достаточно малым , после ряда простых алгебраических преобразований, исключив окончательно получим:

(35)

Таким образом, математическая модель дифференциала состоит из уравнений (31), (33) и (35).