Формула трапеций

Рассмотрим интеграл (2), представляющий собой, как известно , площадь под кривой на отрезке (рис. 1).

Рис. 1. Геометрическое представление численного интегрирования

Разобьем теперь интервал интегрирования  ( a , b )  на n равных частей длиной каждая ( h называется шагом интегрирования ).

Рассмотрим один из этих интервалов (рис. 2).

Рис. 2. Один интервал численного интегрирования по методу трапеций

Площадь под кривой между равна:

Предположим, что шаг интегрирования h достаточно мал, тогда эту площадь без существенной погрешности можно приравнять к площади трапеции ABCD . Так как , получим:

(3)

Поскольку интеграл от суммы равен сумме интегралов (свойство аддитивности ), то

,             (4)

где .

Подставляя (3) в (4), окончательно получим [3, 4]:

.            (5)

Это и есть формула трапеций . Правило трапеций – один из простейших методов численного интегрирования, и хотя погрешности вычислений этим способом больше, чем в других методах, он пользуется большим спросом благодаря своей наглядности и простоте.